Question

Знайдіть первісну даної функції, графік якої проходить через задану точку: f(x)=8x^7-3x^5+2; A(1;4)​

Answer 1

Ответ:

F(x)=x^8-0,5x^6+2x+1,5

Answer 2

Для знаходження первісної функції $F(x)$ для заданої функції $f(x)$, спершу знайдемо первісні почленно для кожної складової $8x^7$, $-3x^5$ та $2$.

1. Перша складова: $\int 8x^7 \, dx = \frac{8}{8} \cdot \frac{x^8}{8} + C_1 = x^8 + C_1$, де $C_1$ - це константа інтегрування.

2. Друга складова: $\int -3x^5 \, dx = -\frac{3}{6} \cdot \frac{x^6}{6} + C_2 = -\frac{1}{2}x^6 + C_2$, де $C_2$ - інша константа інтегрування.

3. Третя складова: $\int 2 \, dx = 2x + C_3$, де $C_3$ - ще одна константа інтегрування.

Тепер знайдемо суму цих первісних:

$F(x) = x^8 - \frac{1}{2}x^6 + 2x + C$

Тут $C$ - загальна константа інтегрування. Для знаходження конкретного значення $C$ використаємо дану точку $A(1, 4)$:

$F(1) = 1^8 - \frac{1}{2} \cdot 1^6 + 2 \cdot 1 + C = 1 - \frac{1}{2} + 2 + C = \frac{3}{2} + C$

Знаємо, що графік функції $F(x)$ проходить через точку $A(1, 4)$, отже, $F(1)$ повинно бути рівним 4:

$\frac{3}{2} + C = 4$

Звідси знаходимо значення $C$:

$C = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

Отже, первісна функція, графік якої проходить через точку $A(1, 4)$, має вигляд:

$F(x) = x^8 - \frac{1}{2}x^6 + 2x + \frac{5}{2}$