Question

ДАЮ 30 балів1. Діагональ рівнобічної трапеції утворюс з бічною стороною прямий кут. Відомо, що бічна сторона вдвічі менша від більшої основи. Знайти кути трапеції.

Answer 1

Маємо трапецію КМРТ, КМ=РТ, КР - діагональ, ∠КРТ=90°, КТ=2РТ. Знайти ∠К, ∠М, ∠Р, ∠Т.

Розглянемо ΔКРТ - прямокутний. Якщо РТ вдвічі менша за КТ, значит, РТ лежить проти ∠30°, отже ∠РКТ=30°, а ∠РТК=90-30=60°.

∠МКТ=∠РТК=60°

∠М=∠Р=180-60=120°

Відповідь: 60°  120°  60°  120°.

Answer 2

Давайте позначимо дані величини:

• Нехай "a" буде довжиною більшої основи трапеції.
• Тоді "2a" буде довжиною меншої основи, оскільки бічна сторона вдвічі менша від більшої основи.
• "d" буде діагоналлю рівнобічної трапеції.

За умовою, діагональ рівнобічної трапеції утворює з бічною стороною прямий кут. Це означає, що ми можемо розділити трапецію на два прямокутних трикутники, в яких діагональ буде гіпотенузою.

Застосуємо теорему Піфагора до одного з таких трикутників:

$$d^2 = a^2 + (2a)^2 = 5a^2.$$

Знаючи діагональ, ми можемо знайти синус кута між більшою основою і діагоналлю (означимо його як α):

$$\sin(\alpha) = \frac{a}{d}.$$

Знаючи синус кута, ми можемо знайти сам кут (означимо його як θ) за допомогою оберненого синуса (арксинуса):

$$\theta = \arcsin\left(\frac{a}{d}\right).$$

Тепер, знаючи кут θ, ми можемо знайти другий кут трапеції, який дорівнює 180° - 2θ, оскільки у рівнобічній трапеції сума всіх кутів дорівнює 360°.

Загалом, ми знаємо, як знайти обидва кути трапеції за допомогою даних величин.