Question

Найдите частные производные первого порядка от след. функций: 1) z=ln(x^2+2y^3) 2)z=sin^2(2x+3y) 3)u=e^y(x^2+y^2+z^2)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Давайте найдем частные производные первого порядка для каждой из заданных функций по переменным x и y.

1. $z = \ln(x^2 + 2y^3)$:

Частная производная по $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + 2y^3} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 2y^3}.$

Частная производная по $y$: $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + 2y^3} \cdot 6y^2 = \frac{6y^2}{x^2 + 2y^3}.$

2. $z = \sin^2(2x + 3y)$:

Частная производная по $x$: $\frac{\partial z}{\partial x} = 2\sin(2x + 3y) \cdot \cos(2x + 3y) \cdot 2 = 4\sin(2x + 3y) \cdot \cos(2x + 3y).$

Частная производная по $y$: $\frac{\partial z}{\partial y} = 2\sin(2x + 3y) \cdot \cos(2x + 3y) \cdot 3 = 6\sin(2x + 3y) \cdot \cos(2x + 3y).$

3. $u = e^y(x^2 + y^2 + z^2)$:

Частная производная по $x$: $\frac{\partial u}{\partial x} = e^y \cdot 2x.$

Частная производная по $y$: $\frac{\partial u}{\partial y} = e^y \cdot (x^2 + 2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y}).$

Частная производная по $z$: $\frac{\partial u}{\partial z} = e^y \cdot 2z \frac{\partial z}{\partial z} = 2e^y \cdot z.$

Обратите внимание, что в третьем случае для вычисления $\frac{\partial u}{\partial y}$ мы использовали частную производную $\frac{\partial z}{\partial y}$, которую мы уже вычислили в первом пункте.