Question

докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат. ​

Answer 1

Ответ:

у квадрата все стороны равны, а чтобы найти площадь надо все стороны умножить друг на друга

Answer 2

Как мы знаем у квадрата все стороны равны, чтобы узнать площадь нужно все, квадраты умножить

Answer 3

Давайте обозначим четыре последовательных целых числа как $n, n+1, n+2$ и $n+3$.

Тогда их произведение будет:

$$P = n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3)$$

Добавим к этому произведению единицу:

$$P + 1 = n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) + 1$$

Мы можем представить это выражение как разность квадрата и куба:

$$P + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2 - (n+1)^3$$

Теперь мы видим, что $P + 1$ представляет собой разность двух квадратов:

$$P + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2 - (n+1)^3 = (n^2 + 3n + 1 - n - 1) \cdot (n^2 + 3n + 1 + n + 1)$$

Преобразуем числитель в левой скобке:

$$P + 1 = (n^2 + 2n) \cdot (n^2 + 4n + 2)$$

Мы можем дополнить квадрат во второй скобке:

$$P + 1 = (n^2 + 2n)^2 + 2(n^2 + 2n) + 1$$

Теперь это точный квадрат:

$$P + 1 = (n^2 + 2n + 1)^2$$

Итак, $P + 1$ является точным квадратом. Это означает, что произведение четырех последовательных целых чисел, увеличенное на единицу, действительно является точным квадратом.