Question

Найдите все четырехзначные числа кратные 45, которые записаны с помощью нечетных цифр, так что среди них есть ровно две одинаковые. Ответ обоснуйте.

Answer 1

Ответ:

1755 1575 5715 5175

Пошаговое объяснение:

что бы число делилось на 45 оно должно делиться на 5 и 9

признаком делимости на 5 является окончания числа на 5 или 0, так как в нашем числе можно использовать только нечетные цифры, значит оно оканчивается на 5

и имеет вид abc5

где abc -некие нечетные цифры

чтобы число делилось на 9 сумма его цифр должна делиться на 9

значит a + b + c + 5 % 9 =0

у нас должны быть две одинаковые нечетные цифры

нам доступны 1 1, 3 3, 5, 7 7, 9 9 (одна 5 у нас уже есть)

осталось их перебрать

1 + 1 + х + 5 = х + 7 (для делимости на 9 х должен быть равен 2 или 11) не подходит

3 + 3 + х + 5 = 11 + х (х = 8 или 17) не подходит

5 + 5 + Х +у = 10 + х + у (где х и у 1, 3 , 7 , 9 и разные) в сумме нужно либо 18 либо 27

(подходят 7 и 1)

имеем числа 1755 1575 5715 5175 больше перестановок нет

продолжим

7 + 7 + х + 5 = 19 +х ( х = 8 или 17) не подходит

9 + 9 +х + 5 = 23 + х (х = 4 или 13) не подходит

таким образом мы перебрали все возможные варианты и есть только 4 числа удовлетворяющих условию

П.С. наверняка можно сделать все проще и элегантнее но я не придумал как.

Answer 2

Чтобы найти все четырехзначные числа, которые кратны 45, записаны с помощью нечетных цифр и содержат ровно две одинаковые цифры, следует рассмотреть возможные варианты.

Чтобы число было кратным 45, оно должно быть кратным как 9, так и 5.

Поскольку сумма всех нечетных цифр (1, 3, 5, 7, 9) равна 25, чтобы число было кратным 9, сумма его цифр также должна быть кратной 9.

Значит, нам нужно рассмотреть числа, сумма цифр которых равна 9, 18 или 27, так как 9 и 18 могут быть представлены как сумма двух одинаковых цифр (например, 9 = 4 + 5, 18 = 9 + 9).

Поскольку мы ищем числа с двумя одинаковыми цифрами, рассмотрим случаи, когда сумма цифр равна 9:

1. Сумма цифр равна 9:

   • 1359
   • 3159
   • 5319
   • 1539
   • 5139
   • 9513
   • 1593
   • 5193
   • 9513

2. Сумма цифр равна 18:

   • 1179
   • 1197
   • 1719
   • 1917
   • 7119
   • 7911

Теперь проверим, есть ли среди этих чисел ровно два одинаковых:

• В первом случае, числа 9513 повторяется дважды.
• Во втором случае, числа 1179 и 1197 повторяются.

Итак, перечисленные числа, удовлетворяющие условиям (четырехзначные, кратные 45, составленные из нечетных цифр и содержащие ровно две одинаковые цифры), это: 9513, 1179 и 1197.