Question

Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 2020, которые в своей двоичной записи содержат наибольшее число единиц?

Answer 1

Ответ:

10 чисел

Пошаговое объяснение:

Наибольшее количество единиц в своей двоичной записи имеют числа вида 2^n - 1, при n - натуральное число.

Соответственно:

2^1 - 1 = 1

2^2 - 1 = 3

2^3 - 1 = 7

2^4 - 1 = 15

2^5 - 1 = 31

2^6 - 1 = 63

2^7 - 1 = 127

2^8 - 1 = 255

2^9 - 1 = 511

2^10 - 1 = 1023

2^11 - 1 = 2047 - Тут мы получили число, превосходящее 2020, значит ответ - все идущие до него

Ответ: 10 чисел

Answer 2

Чтобы найти количество натуральных чисел, не превосходящих 2020, которые содержат наибольшее число единиц в своей двоичной записи, мы можем поступить следующим образом:

1. Запишем число 2020 в двоичной системе счисления. Это число будет иметь 11 битов, так как $2^{10} = 1024 < 2020$, и $2^{11} = 2048 > 2020$. Запись 2020 в двоичной системе будет выглядеть так:

   11111100100

2. Теперь нам нужно найти все возможные комбинации, в которых будет наибольшее количество единиц. Это будут числа, в которых будет 11 единиц (по числу битов). Мы можем выбрать местоположение этих единиц из 11 возможных мест.

3. Для этого мы можем использовать сочетания с повторениями. Формула для вычисления количества таких чисел будет:

   $C(11, 11) + C(11, 10) + C(11, 9) + ... + C(11, 1) + C(11, 0)$

   Где $C(n, k)$ - это количество сочетаний из n элементов по k элементов. В данном случае, n = 11 (количество битов) и k изменяется от 0 до 11.

4. Вычислим это выражение:

   $C(11, 11) + C(11, 10) + C(11, 9) + ... + C(11, 1) + C(11, 0) = 1 + 11 + 55 + 165 + ... + 1$

   Теперь вычислим это суммируя все числа:

   $1 + 11 + 55 + 165 + 330 + 462 + 462 + 330 + 165 + 55 + 11 + 1 = 2047$

Таким образом, существует 2047 натуральных чисел, не превосходящих 2020, которые содержат наибольшее количество единиц в своей двоичной записи.