Question

Очень срочно надо!!!!! функція f така, що для будь-яких x та y виконується рівність f(x*y)=f(x)+f(y) знайти f(2009),якщо f(1/2009)=1

Answer 1

Ответ:

-1

Пошаговое объяснение:

$f(2009)=f(2009^2*\dfrac{1}{2009})=f(2009*2009)+f(\dfrac{1}{2009})=f(2009*2009)+1=f(2009)+f(2009)+1=2f(2009)+1\Rightarrow f(2009)=-1$

Answer 2

Давайте розглянемо дане рівняння та спробуємо знайти функцію f(x).

Ми вже знаємо, що f(1/2009) = 1. Давайте позначимо f(1/2009) як A:

A = f(1/2009) = 1

Тепер давайте розглянемо рівняння f(x * y) = f(x) + f(y) і підставимо в нього значення x = 2009 та y = 1/2009:

f(2009 * 1/2009) = f(2009) + f(1/2009)

Оскільки 2009 * 1/2009 = 1, то ми можемо записати:

f(1) = f(2009) + A

Ми вже знаємо значення A (A = 1), тож розкриємо рівняння:

f(1) = f(2009) + 1

Тепер нам потрібно знайти значення f(1). Однак вираз f(x * y) = f(x) + f(y) відомий як функціональне рівняння Цезаро. Це рівняння має одну звичайну функцію як рішення, і це логарифмічна функція. Тобто, f(x) = log(x), де log(x) - натуральний логарифм.

Знаючи це, ми можемо знайти f(1):

f(1) = log(1) = 0

Тепер ми знаємо значення f(1) і можемо використовувати рівняння:

0 = f(2009) + 1

f(2009) = -1

Отже, f(2009) = -1.