Question

Помогите пожалуйста линейные диф ур-я y'-7y/x=5x y'+3y=x*e^-3x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения этой системы линейных дифференциальных уравнений, можно воспользоваться методом интегрирующего множителя. Сначала перепишем уравнения в стандартной форме:

1. y' - 7y/x = 5x
2. y' + 3y = xe^(-3x)

Давайте начнем с уравнения 1:

Умножим обе стороны на x:

x * y' - 7y = 5x^2

Теперь мы можем найти интегрирующий множитель, умножив обе стороны на функцию μ(x), чтобы уравнение стало точным. Для этого мы ищем такую функцию μ(x), чтобы:

μ(x) * (x * y' - 7y) = μ(x) * 5x^2

Где левая часть равна производной по x от [μ(x) * y]:

d/dx [μ(x) * y] = μ(x) * 5x^2

Теперь мы должны найти μ(x), что удовлетворяет этому уравнению. Мы видим, что μ(x) * 5x^2 содержит только функцию x, поэтому мы можем выбрать μ(x) = 1/x^2:

d/dx [1/x^2 * y] = 5x^2

Теперь интегрируем обе стороны:

1/x^2 * y = (5/3)x^3 + C1

Теперь решим это уравнение относительно y:

y = (5/3)x + C1 * x^2

Теперь перейдем ко второму уравнению:

y' + 3y = xe^(-3x)

Это линейное неоднородное уравнение, и мы можем использовать метод вариации постоянных для его решения. Перепишем его в стандартной форме:

y' = -3y + xe^(-3x)

Теперь найдем решение для однородной части уравнения:

y' = -3y

Это уравнение имеет решение в виде:

y_h = C2 * e^(-3x)

Теперь найдем частное решение неоднородной части уравнения, используя метод вариации постоянных. Предположим, что решение имеет вид:

y_p = u(x) * e^(-3x)

Тогда:

y_p' = u' * e^(-3x) - 3u * e^(-3x)

Теперь подставим y_p и y_p' в неоднородное уравнение:

u' * e^(-3x) - 3u * e^(-3x) + 3(u * e^(-3x)) = xe^(-3x)

Сократим одинаковые члены:

u' * e^(-3x) = xe^(-3x)

Теперь интегрируем обе стороны:

u' = x

Интегрируем еще раз:

u = (1/2)x^2 + C3

Теперь мы можем записать общее решение для неоднородной части уравнения:

y_p = (1/2)x^2 * e^(-3x) + C3 * e^(-3x)

Теперь объединим частное решение неоднородной части и решение однородной части:

y = y_h + y_p y = C2 * e^(-3x) + (1/2)x^2 * e^(-3x) + C3 * e^(-3x)

Теперь у нас есть общее решение системы линейных дифференциальных уравнений:

y = C1 * x^2 + (5/3)x + C2 * e^(-3x) + (1/2)x^2 * e^(-3x) + C3 * e^(-3x)

Где C1, C2 и C3 - произвольные постоянные.