Question

Найти экстремумы функции: y=x^2*e^-x

Answer 1

Ответ:

x = 0 и x = 2

Пошаговое объяснение:

Считаем производную: y' = 2x * e^(-x) + x^2 * (-e^(-x)) = e^(-x) * (2x - x^2)

В точках экстремума производная равна нулю: e^(-x) * (2x - x^2) = 0, первый множитель всегда положителен, второй множитель имеет два корня: x = 0 и x = 2. Это точки экстремума.

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $y = x^2e^{-x}$, начнем с нахождения ее производной и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$y = x^2e^{-x}$

$y' = (x^2)'e^{-x} + x^2(e^{-x})' = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = e^{-x}(2x - x^2)$

Теперь приравняем $y'$ к нулю и решим уравнение:

$e^{-x}(2x - x^2) = 0$

Так как $e^{-x}$ никогда не равно нулю, у нас есть два случая:

1. $2x - x^2 = 0$
2. $2x - x^2 \neq 0$ (когда $e^{-x} = 0$)

Первый случай:

$2x - x^2 = x(2 - x) = 0$

Таким образом, $x = 0$ или $x = 2$.

Второй случай:

$2x - x^2 \neq 0$ (когда $e^{-x} = 0$)

Так как экспоненциальная функция $e^{-x}$ всегда положительна, она никогда не равна нулю. Таким образом, второй случай не приводит к критическим точкам.

Теперь найдем вторую производную $y''$ и используем ее, чтобы определить характер экстремумов в критических точках:

$y'' = (e^{-x}(2x - x^2))' = (e^{-x})'(2x - x^2) + e^{-x}(2x - x^2)' = (-e^{-x})(2x - x^2) + e^{-x}(2 - 2x)$

$y'' = -2xe^{-x} + x^2e^{-x} + 2e^{-x} - 2xe^{-x}$

Теперь подставим найденные критические точки $x = 0$ и $x = 2$ в $y''$ и определим характер экстремумов:

1. При $x = 0$:

$y''(0) = -2(0)e^{0} + (0)^2e^{0} + 2e^{0} - 2(0)e^{0} = 2 > 0$

Так как $y''(0) > 0$, это означает, что у нас есть локальный минимум в точке $x = 0$.

2. При $x = 2$:

$y''(2) = -2(2)e^{-2} + (2)^2e^{-2} + 2e^{-2} - 2(2)e^{-2} = -2e^{-2} + 4e^{-2} + 2e^{-2} - 4e^{-2} = 0$