Question

Решить логарифмическое уравнение: log6(x-1)+log6(x+4)=2

Answer 1

ответ:если х>1, то решений нет

Answer 2

Для решения логарифмического уравнения log₆(x - 1) + log₆(x + 4) = 2, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов. В данном случае, мы видим, что оба логарифма имеют одну и ту же базу (6), поэтому мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c).

Применяя это свойство, мы можем объединить два логарифма в один:

log₆((x - 1) * (x + 4)) = 2

Теперь мы можем избавиться от логарифма, используя определение логарифма. Если logₐ(b) = c, то a^c = b. В данном случае:

6² = (x - 1) * (x + 4)

Раскроем квадрат:

36 = x² + 4x - x - 4

Теперь сгруппируем похожие члены:

x² + 3x - 40 = 0

Это квадратное уравнение. Мы можем попробовать решить его с помощью факторизации или квадратного корня. Попробуем факторизацию:

(x + 8)(x - 5) = 0

Теперь у нас есть два возможных значения x:

1. x + 8 = 0 x = -8

2. x - 5 = 0 x = 5

Проверим оба корня, чтобы убедиться, что они подходят для исходного уравнения:

1. Подставим x = -8: log₆((-8 - 1) * (-8 + 4)) = log₆(-9 * -4) = log₆(36) = 2 Уравнение верно.

2. Подставим x = 5: log₆((5 - 1) * (5 + 4)) = log₆(4 * 9) = log₆(36) = 2 Уравнение верно.

Оба корня подходят, поэтому решением исходного логарифмического уравнения являются x = -8 и x = 5.