Question

СРОЧНО!!!Найти dy/dx , если y^2x=e^(y/x)

Answer 1

Ответ:

${y}^{2} x = {e}^{ \frac{y}{x} } \\ 2yy'x + {y}^{2} = {e}^{ \frac{y}{x} } \times \frac{y'x - y}{ {x}^{2} } \\ 2yy'x + {y}^{2} = \frac{y'}{x} {e}^{ \frac{y}{x} } - \frac{y}{ {x}^{2} } {e}^{ \frac{y}{x} } \\ 2yy'x - \frac{y'}{x} {e}^{ \frac{y}{x} } = - {y}^{2} - \frac{y}{ {x}^{2} } {e}^{ \frac{y}{ x } } \\ y'(2xy - \frac{ {e}^{ \frac{y}{x} } }{x} ) = - \frac{ {x}^{2} {y}^{2} + y {e}^{ \frac{y}{x} } }{ {x}^{2} } \\ y' \times \frac{2y {x}^{2} - {e}^{ \frac{y}{x} } }{x} = - \frac{ {x}^{2} {y}^{2} + y {e}^{ \frac{y}{x} } }{ {x}^{2} } \\ y' = \frac{x}{2y {x}^{2} - {e}^{ \frac{y}{x} } } \times ( - \frac{ {x}^{2} {y}^{2} + y {e}^{ \frac{y}{x} } }{ {x}^{2} } ) \\ y' = - \frac{ {x}^{2} {y}^{2} + y {e}^{ \frac{y}{x} } }{x(2 {x}^{2}y - {e}^{ \frac{y}{x} } ) }$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся методом неявного дифференцирования. Для начала, возьмем производную от обеих частей уравнения по переменной x:

d/dx (y^2x) = d/dx (e^(y/x))

Применяя правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования сложной функции, получим:

2xy + y^2 * dx/dx = (e^(y/x)) * [(d/dx (y/x)) + (d/dx (y/x)) * (dy/dx)]

Упрощая уравнение, получим:

2xy + y^2 = (e^(y/x)) * [(1/x) + (y/x^2) * (dy/dx)]

Теперь мы можем выразить (dy/dx):

2xy + y^2 = (e^(y/x)) * [(1/x) + (y/x^2) * (dy/dx)]

2xy - (e^(y/x)) * (y/x^2) * (dy/dx) = (e^(y/x)) * (1/x) - y^2

dy/dx = [(e^(y/x)) * (1/x) - y^2] / [2xy - (e^(y/x)) * (y/x^2)]

Вот искомое выражение для dy/dx в терминах y и x.