Question

Решить диф уравнение (1+е^х)*yy'=e^2x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Уравнение имеет вид:

(1 + e^x) * y * y' = e^(2x)

Для начала, давайте введем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть z = 1 + e^x. Тогда z' = e^x. Мы можем переписать уравнение с использованием z:

z * y * z' = e^(2x)

Теперь мы можем выразить z' в терминах z:

z' = (1/z) * e^(2x)

Теперь давайте разделим обе стороны уравнения на z и выразим y':

y * e^(2x) = z * y'

Теперь мы можем выразить y':

y' = (y * e^(2x)) / z

Теперь у нас есть уравнение, выраженное через z, y и их производные:

y' = (y * e^(2x)) / z

Теперь это уравнение можно решить как разделяющееся переменные. Давайте переместим все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие x и z, на другую сторону:

(y / z) * dy = e^(2x) * dx

Теперь давайте проинтегрируем обе стороны:

∫(y / z) dy = ∫e^(2x) dx

Для левой стороны мы можем использовать метод интегрирования по частям, а для правой стороны проинтегрировать степень e:

ln|y| = (1/2) * e^(2x) + C1

Теперь мы можем избавиться от логарифма, возводя обе стороны в экспоненту:

|y| = e^((1/2) * e^(2x) + C1)

Теперь, чтобы избавиться от модуля, мы можем взять два случая, учитывая, что |y| всегда положительно:

1. y = e^((1/2) * e^(2x) + C1)
2. y = -e^((1/2) * e^(2x) + C1)

Это два общих решения уравнения.

Обратите внимание, что это общие решения, и в зависимости от начальных условий задачи можно получить конкретное частное решение.