Question

Дана функция: f(x)=(x+1)/(x^2+2x+2). Найдите 1). Область определения функции. 2). Нули функции. 3). Четность/нечетность функции. 4). Асимптоты. 5). Точки максимум,минимум. 6). Монотонность функции. 7). Интервалы выпуклости и выпуклости функции. 8). График

Answer 1

Ответ:

=================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте пошагово рассмотрим каждый из вопросов:

1. Область определения функции: Функция f(x) определена для всех действительных чисел x, так как знаменатель (x^2+2x+2) всегда положителен (поскольку это квадратное уравнение вида x^2 + 2x + 2 = 0 не имеет действительных корней).

2. Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение f(x) = 0: (x+1)/(x^2+2x+2) = 0

У нас нет действительных корней для этого уравнения, так как знаменатель всегда положителен. Таким образом, у функции нет действительных нулей.

3. Четность/нечетность функции: Для определения четности/нечетности функции, давайте рассмотрим f(x) и f(-x): f(x) = (x+1)/(x^2+2x+2) f(-x) = (-x+1)/((-x)^2+2(-x)+2) = (-x+1)/(x^2-2x+2)

Мы видим, что f(-x) ≠ f(x), и f(x) ≠ -f(x), следовательно, функция f(x) является общей (непарной) функцией, то есть нечётной.

4. Асимптоты: a) Горизонтальные асимптоты: Поскольку степень числителя и знаменателя одинакова (оба равны 1), горизонтальных асимптот нет.

b) Вертикальные асимптоты: Для вертикальных асимптот найдем, при каких значениях x знаменатель равен нулю: x^2 + 2x + 2 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения D = 2^2 - 412 = 4 - 8 = -4, что означает, что уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у функции нет вертикальных асимптот.

5. Точки максимума и минимума: Чтобы найти точки максимума и минимума, давайте найдем производную функции и приравняем ее к нулю: f(x) = (x+1)/(x^2+2x+2)

f'(x) = [(x^2+2x+2) * 1 - (x+1) * (2x+2)] / (x^2+2x+2)^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки: [(x^2+2x+2) * 1 - (x+1) * (2x+2)] / (x^2+2x+2)^2 = 0

Решив это уравнение, мы получим критические точки. Однако оказывается, что производная не обращается в ноль ни в одной точке, и, следовательно, функция f(x) не имеет ни максимумов, ни минимумов.

6. Монотонность функции: Чтобы определить монотонность функции, мы можем проанализировать производную f'(x) и знаки второй производной f''(x). Однако, как мы выяснили ранее, f'(x) не обращается в ноль, и, следовательно, функция не имеет точек экстремума. Таким образом, мы не можем однозначно сказать о монотонности функции без дополнительных исследований.

7. Интервалы выпуклости и вогнутости функции: Для анализа выпуклости и вогнутости функции, нам необходимо исследовать знак второй производной f''(x). Однако, так как f'(x) не обращается в ноль, а f''(x) зависит от f'(x), мы не можем однозначно сказать о выпуклости или вогнутости функции без дополнительных исследований.

8. График: Чтобы построить график функции, вам потребуется программное обеспечение или калькулятор с функцией построения графиков. График функции f(x) будет нечетным и не будет иметь горизонтальных или вертикальных асимптот, максимумов и минимумов. Он будет менять свой наклон и выпуклость в зависимости от значений x, но точные значения монотонности и выпуклости требуют дополнительного исследования с помощью производных.