Question

Подані координати вершин трикутника АВС (табл. 5). Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) площу трикутника; в) косинус кута В; г) довжину висоти АД; д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ. А (1,-1,6), В (-5,-1,0), С (4,0,0)

Answer 1

Подані координати вершин трикутника АВС: А (1,-1,6), В (-5,-1,0), С (4,0,0).

Знайти:

а) довжину та рівняння медіани АЕ, точка Е=(В+С)/2 = (-0,5; -0,5; 0).

Вектор АЕ = (-1,5; 0,5; -6), его длина равна√(2,25+0,25+36) = 6,204837.

Уравнение АЕ: (x - 1)/(-1,5) = (y + 1)/(0,5) = (z - 6)/(-6)

б) площу трикутника.

Находим векторы ВА и ВС.

ВА = (6; 0; 6), ВС = (9; 1; 0). S = (1/2)*{BAxBC}.

I          j       k|       i         j

6       0       6|       6       0

9       1         0|       9      1  = 0i + 54j + 6k - 0j - 6i - 0k = -6i + 54j + 6k.

Модуль равен √(36 + 2916 + 36) = √2988 ≈   54,66260.

S = (1/2)*54,66260 = 27,33130.

в) косинус кута В = (6*9+0*1+0*0)/(√72*√82) =54/√5904 = 54/  

76,83749085 =  0,702781928.

г) довжину висоти АД; h(AD) = 2S/|BC| = 2*27,33130/√82 = 6,0364745.

д) рівняння прямої , яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

А (1,-1,6), В (-5,-1,0), С (4,0,0).

У этой прямой вектор сохраняется такой же, как и у АВ = (-6; 0; -6).

Точка Е (-0,5; -0,5; 0)

(x + 0,5)/(-6) = (y + 0,5)/0 = z/(-6).

В этом случае в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве прямая лежит в плоскости, которая параллельна координатной плоскости Oxz.

Answer 2

Для вирішення цих завдань нам потрібно використовувати різні формули та властивості геометричних фігур. Давайте розглянемо їх одну за одною:

а) Довжина та рівняння медіани АЕ:

Медіана - це відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежного відрізка. Ми можемо знайти середину відрізка ВС:

Середина ВС: ((-5 + 4) / 2, (-1 + 0) / 2, (0 + 0) / 2) = (-0.5, -0.5, 0)

Тепер, ми можемо знайти медіану АЕ, яка буде проходити через точки A і середину ВС:

Медіана АЕ: ((1 - 0.5) / 2, (-1 - 0.5) / 2, (6 - 0) / 2) = (0.25, -0.75, 3)

Рівняння медіани можна записати у параметричній формі:

x = 1 + 0.25t y = -1 - 0.75t z = 6 - 3t

б) Площа трикутника:

Для знаходження площі трикутника АВС можна використовувати формулу площі Герона. Спершу знайдемо довжини сторін трикутника:

AB = √((1 - (-5))^2 + (-1 - (-1))^2 + (6 - 0)^2) = √((6)^2 + (0)^2 + (6)^2) = √(36 + 0 + 36) = √72

AC = √((1 - 4)^2 + (-1 - 0)^2 + (6 - 0)^2) = √((-3)^2 + (-1)^2 + 6^2) = √(9 + 1 + 36) = √46

BC = √((-5 - 4)^2 + (-1 - 0)^2 + (0 - 0)^2) = √((-9)^2 + (-1)^2 + 0^2) = √(81 + 1 + 0) = √82

Тепер, використовуючи формулу Герона, можемо знайти площу:

S = √(p(p - AB)(p - AC)(p - BC)), де p - половина периметра трикутника, тобто p = (AB + AC + BC) / 2.

p = (√72 + √46 + √82) / 2

S = √(p(p - √72)(p - √46)(p - √82))

в) Косинус кута В:

Косинус кута В можна знайти за допомогою формули косинуса для кута між двома векторами:

cos(В) = (AB · BC) / (||AB|| * ||BC||), де AB · BC - скалярний добуток векторів AB і BC, а ||AB|| і ||BC|| - довжини цих векторів.

AB · BC = ((-5 - 1) * (-1 - (-1)) * (0 - 0)) + ((-1 - (-1)) * (0 - 0) * (6 - 0)) + ((0 - (-5)) * (1 - (-1)) * (6 - 0))

||AB|| = √(72), ||BC|| = √(82)

cos(В) = (AB · BC) / (||AB|| * ||BC||)

г) Довжина висоти АД:

Висота АД може бути знайдена за допомогою векторного добутку вектора AB і вектора AC. Довжина векторного добутку буде рівна площі трикутника, і тоді можна знайти довжину висоти за формулою:

h = (2 * S) / ||BC||

д) Рівняння прямої, яка проходить через точку Е паралельно прямій АВ:

Ми вже знайшли медіану АЕ у параметричній формі: x = 1 + 0.25t, y = -1 - 0.75t, z = 6 - 3t. Ця пряма буде проходити через точку Е (0, 0, 0), отже, можемо підставити значення точки Е у рівняння медіани:

0 = 1 + 0.25t 0 = -1 - 0.75t 0 = 6 - 3t

З цих рівнянь можна знайти значення параметра t та записати рівняння прямої.