Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x,y=1/x,x=3

Answer 1

Ответ:

$4-ln3$

Пошаговое объяснение:

Площадь фигуры, ограниченной данными линиями, можно получить, отняв от площади трапеции с основаниями 1 и 3 и высотой 2 площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $x=1$, $x=3$ и $y=\frac{1}{x}$.

Площадь трапеции равна $S=\frac{(1+3)2}{2} =4$

Площадь криволинейной трапеции равна $S=\int\limits^3_1 {\frac{1}{x} } \, dx =lnx$ от 1 до 3.

То есть, $S=F(b)-F(a)=ln3-ln1=ln3-0=ln3$

Таким образом, искомая площадь фигуры равна

$S=4-ln3$.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 1/x и x = 3, нужно разбить эту фигуру на две части и вычислить площадь каждой из них, а затем сложить результаты.

1. Первая часть ограничена линиями y = x и x = 3. Это прямоугольный треугольник с вершинами в точках (3, 3) и (3, 1).

Площадь этой части можно вычислить как: S1 = (1/2) * base * height = (1/2) * (3-3) * (3-1) = (1/2) * 0 * 2 = 0

2. Вторая часть ограничена линиями y = x и y = 1/x. Чтобы найти точки пересечения этих двух функций, приравняем их:

x = 1/x

Умножим обе стороны на x:

x^2 = 1

Теперь возьмем положительный корень:

x = 1

Таким образом, точка пересечения находится в (1, 1).

Теперь вычислим площадь этой части:

S2 = ∫[1,3] (x - 1/x) dx

S2 = [x^2/2 - ln|x|] from 1 to 3

S2 = (9/2 - ln|3|) - (1/2 - ln|1|)

S2 = (9/2 - ln(3)) - (1/2 - 0)

S2 = (9/2 - ln(3)) - 1/2

Теперь мы можем сложить площади обеих частей:

S = S1 + S2 = 0 + ((9/2 - ln(3)) - 1/2) = (9/2 - ln(3)) - 1/2

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y = x, y = 1/x и x = 3 равна (9/2 - ln(3)) - 1/2.