Question

Найти частное решение дифференциального уравнения Xdy=2ydx Y=4 X=1

Answer 1

$xdy = 2ydx \\ \int\limits \frac{dy}{y} = 2\int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(y) = 2 ln(x) + ln(C) \\ ln(y) = ln(C {x}^{2} ) \\ y = C {x}^{2}$

общее решение

$y(1) = 4$

$4 = C \times 1 \\ C = 4$

$y = 4 {x}^{2}$

частное решение

Answer 2

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения Xdy = 2ydx с начальными условиями Y = 4 и X = 1, мы можем воспользоваться методом разделения переменных.

Давайте разделим переменные:

Xdy = 2ydx

Теперь давайте разделим обе стороны на y и X:

(dy/y) = (2dx/X)

Далее проинтегрируем обе стороны:

∫(1/y) dy = 2∫(1/X) dx

Интегрируем левую и правую стороны:

ln|y| = 2ln|X| + C

где C - константа интеграции.

Теперь можно избавиться от натуральных логарифмов, взяв экспоненту от обеих сторон:

|y| = e^(2ln|X| + C)

Теперь объединим константу C и логарифмы:

|y| = e^C * e^(2ln|X|)

Поскольку e^C - это также константа, обозначим ее как K:

|y| = K * e^(2ln|X|)

Теперь можем учесть начальное условие Y = 4, когда X = 1:

|4| = K * e^(2ln|1|)

|4| = K * e^0

|4| = K * 1

Так как |4| = 4, то K = 4.

Теперь у нас есть значение K, и мы можем записать частное решение:

|y| = 4 * e^(2ln|X|)

Теперь можно учесть, что |y| - это абсолютное значение, и разделить решение на два случая, учитывая знак y:

1. y = 4 * e^(2ln|X|), если y > 0
2. y = -4 * e^(2ln|X|), если y < 0

Это частное решение дифференциального уравнения Xdy = 2ydx с начальными условиями Y = 4 и X = 1.