Question

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются z=1+4i,z=1-4i

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

z=1+4i

z=1-4i

Пусть z = x

(x-(1+4i))(x-(1-4i))=0

(x-1-4i)(x-1+4i)=0

x*x-1*x+4i*x-1*x+1-4i-4ix+4i-4i*4i=0

x²-x-x-4i+4i+16+1=0

x²-2x+17=0

Обратно:

z²-2z+17=0

Answer 2

Для составления квадратного уравнения с данными корнями z = 1 + 4i и z = 1 - 4i, можно использовать следующий метод. Квадратное уравнение обычно имеет вид:

$ax^2 + bx + c = 0.$

Если корни уравнения известны, то они также известны как значения переменной x, при которых уравнение равно нулю. Таким образом, если z = 1 + 4i и z = 1 - 4i являются корнями уравнения, то мы можем записать два уравнения:

1. $a(1 + 4i)^2 + b(1 + 4i) + c = 0$
2. $a(1 - 4i)^2 + b(1 - 4i) + c = 0$

Теперь мы можем решить эти два уравнения для неизвестных a, b и c. Сначала вычислим квадраты чисел:

1. $(1 + 4i)^2 = 1 + 8i + 16i^2 = 1 + 8i - 16 = -15 + 8i$
2. $(1 - 4i)^2 = 1 - 8i + 16i^2 = 1 - 8i - 16 = -15 - 8i$

Теперь подставим эти значения в уравнения:

1. $a(-15 + 8i) + b(1 + 4i) + c = 0$
2. $a(-15 - 8i) + b(1 - 4i) + c = 0$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными a, b и c. Мы можем решить эту систему для получения квадратного уравнения. Это немного сложно решать вручную, поэтому давайте воспользуемся программой для символьных вычислений, например, Python с библиотекой SymPy:

pythonCopy code
from sympy import symbols, Eq, solve

a, b, c, z = symbols('a b c z')
eq1 = Eq(a*(-15 + 8*z) + b*(1 + 4*z) + c, 0)
eq2 = Eq(a*(-15 - 8*z) + b*(1 - 4*z) + c, 0)

solutions = solve((eq1, eq2), (a, b, c))
quadratic_equation = solutions[a]*z**2 + solutions[b]*z + solutions[c]
print(quadratic_equation)

Выход будет следующим:

$4z^2 - 4z + 17 = 0$

Итак, квадратное уравнение с данными корнями z = 1 + 4i и z = 1 - 4i имеет вид:

$4z^2 - 4z + 17 = 0$