Question

Дан треугольник с вершинами А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3). Составьте уравнение стороны АВ треугольника, медианы АК, высоты ВД, расстояния от вершины С до стороны АВ, вычислите угол А. А(-4;-3), В(-3;4), С(2;1).

Answer 1

$A(-4;-3)\ ,\ \ B(-3;4)\ ,\ \ C(2;1)\\\\1)\ AB:\ \dfrac{x+4}{-3+4}=\dfrac{y+3}{4+3}\ \ ,\ \ \ \dfrac{x+4}{1}=\dfrac{y+3}{7}\ \ ,\ \ \ \underline {7x-y+25=0}\\\\\\2)\ \ x_{K}=\dfrac{-3+2}{2}=-0,5\ \ \ ,\ \ y_{K}=\dfrac{4+1}{2}=2,5\\\\AK:\ \ \dfrac{x+4}{-0,5+4}=\dfrac{y+3}{2,5+3}\ \ ,\ \ \ \dfrac{x+4}{3,5}=\dfrac{y+3}{5,5}\ \ ,\ \ \ \dfrac{x+4}{7}=\dfrac{y+3}{11}\ \ ,\\\\\underline {\ 11x-7y+23=0\ }$

$3)\ \ \overline{AC}=(2+4\ ;\ 1+3)=(6\ ;\ 4)\ \,\ \ \ \ BD\perp AC\ \ ,\\\\BD:\ \ 6\, (x+3)+4\, (y-4)=0\ \ ,\ \ \ 3(x+3)+2(y-4)=0\ ,\\\\\underline {\ 3x+2y+1=0\ }\\\\\\4)\ \ AB:\ 7x-y+25=0\ ,\ \ C(2;1)\\\\d=\dfrac{|\, 7\cdot 2-1+25\, |}{\sqrt{7^2+(-1)^2}}=\dfrac{38}{5\sqrt2}=\dfrac{19\sqrt2}{5}\\\\\\5)\ \ cosA=\dfrac{(\overline{AB}\cdot \overline{AC})}{|\overline{AB}|\cdot |\overline{AC}|}=\dfrac{1\cdot 6+7\cdot 4}{\sqrt{1^2+7^2}\cdot \sqrt{6^2+4^2}}=\dfrac{34}{\sqrt{50}\cdot \sqrt{52}}=$

$=\dfrac{34}{5\sqrt2\cdot 2\sqrt{13}}=\dfrac{17}{5\sqrt{26}}\approx 0,67\\\\\\\angle A=arccos\dfrac{17}{5\sqrt{26}}\approx 48,2^\circ$

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем уравнение стороны AB.
2. Найдем координаты точки К, которая является серединой стороны AB.
3. Найдем уравнение медианы АК.
4. Найдем уравнение высоты ВД.
5. Найдем расстояние от вершины С до стороны AB.
6. Вычислим угол А.

Давайте начнем с шага 1:

1. Уравнение стороны AB: У нас есть точки A(-4, -3) и B(-3, 4). Уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно найти, используя уравнение прямой в общем виде:

   y = mx + b,

   где m - наклон (slope) прямой, а b - y-координата точки, через которую она проходит.

   Сначала найдем наклон (slope) m: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) m = (4 - (-3)) / (-3 - (-4)) m = (4 + 3) / (-3 + 4) m = 7 / 1 m = 7

   Теперь, используя любую из точек A или B (давайте возьмем B(-3, 4)), мы можем найти b: 4 = 7 * (-3) + b 4 = -21 + b

   Теперь добавим 21 к обеим сторонам: b = 4 + 21 b = 25

   Итак, уравнение стороны AB: y = 7x + 25

2. Найдем координаты точки K, середины стороны AB: K - это точка, которая является серединой между A и B. Мы можем найти ее координаты, используя средние значения x и y координат A и B: Kx = (x1 + x2) / 2 Kx = (-4 + (-3)) / 2 Kx = (-7) / 2 Kx = -3.5

   Ky = (y1 + y2) / 2 Ky = (-3 + 4) / 2 Ky = 1 / 2 Ky = 0.5

   Таким образом, координаты точки K(-3.5, 0.5).

3. Уравнение медианы АК: Медиана проходит через точку K и вершину A. Мы уже знаем уравнение стороны AB (y = 7x + 25), поэтому мы можем найти уравнение медианы, используя точку K: y - y1 = m(x - x1) y - (-3) = 7(x - (-4)) y + 3 = 7(x + 4)

   Уравнение медианы АК: y = 7x + 25

4. Уравнение высоты ВД: Высота BD будет перпендикулярной стороне AB и проходящей через точку D. Мы знаем, что наклон (slope) перпендикулярной прямой -1/m, где m - наклон исходной прямой. Таким образом, наклон прямой BD будет -1/7.

   Найдем уравнение BD, используя точку B(-3, 4): y - y2 = (-1/7)(x - x2) y - 4 = (-1/7)(x - (-3)) y - 4 = (-1/7)(x + 3)

   Уравнение высоты BD: y = (-1/7)x + (4 + 3/7)

5. Расстояние от вершины С до стороны AB: Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле:

   D = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2),

   где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой (в нашем случае, уравнения стороны AB), а (x, y) - координаты точки C.

   Уравнение стороны AB: 7x - y + 25 = 0 A = 7, B = -1, C = 25 Точка C(2, 1)

   D = |7 * 2 - 1 * 1 + 25| / sqrt(7^2 + (-1)^2) D = |14 - 1 + 25| / sqrt(49 + 1) D = |38| / sqrt(50)

   Упростим выражение: D = 38 / sqrt(50)

6. Вычисление угла А: Угол А можно вычислить, используя формулу наклона (slope) прямой:

   m = tan(θ),

   где θ - угол наклона. В данном случае, у нас есть уравнение стороны AB: y = 7x + 25, и наклон m = 7.

   θ = arctan(7)

   Используя калькулятор, найдем значение угла θ: θ ≈ 81.87 градусов.

Итак, мы нашли уравнения стороны AB, медианы АК, высоты ВД, расстояние от вершины С до стороны AB и угол А:

1. Уравнение стороны AB: y = 7x + 25.
2. Уравнение медианы АК: y = 7x + 25 (то же, что и сторона AB).
3. Уравнение высоты ВД: y = (-1/7)x + (4 + 3/7).
4. Расстояние от вершины С до стороны AB: D = 38 / sqrt(50).
5. Угол А: θ ≈ 81.87 градусов.