Question

Основанием пирамиды sabc является прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине c. радиус окружности, описанной около этого треугольника равен 3 см. боковые грани acs bsc перпендикулряны плоскости основания пирамиды. грань abs наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов, и ее площадь равна 12 корней из 2. найдите объем данной пирамиды С рисунком и пояснениями.

Answer 1

Ответ:

8√3 см³

Пошаговое объяснение:

Дано: SABC - пирамида, ΔАВС: ∠С = 90°, R = 3 см,

(SAC)⊥(ABC), (SBC)⊥(ABC), ∠((SAB); (ABC)) = 60°

Ssab = 12√2 см²

Найти: V.

Решение:

Так как две пересекающиеся плоскости перпендикулярны основанию, то линия их пересечения - ребро SC - перпендикулярна основанию.

SC - высота пирамиды.

Проведем СН - высоту прямоугольного треугольника АВС.

СН - проекция SH на плоскость основания, значит SH⊥AB по теореме о трех перпендикулярах.  ⇒

∠SHC = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью SAB и плоскостью основания.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.

АВ = 2R = 2 · 3 = 6 см

Площадь ΔSAB:

$S_{SAB}=\dfrac{1}{2}AB\cdot SH$

$12\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot SH$

$SH=\dfrac{12\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$  см

ΔSHC:  ∠SCH = 90°,

$SC=SH\cdot \sin\angle SHC=4\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}$ см

$CH=SH\cdot \cos\angle SHC=4\sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{2}=2\sqrt{2}$  см

Площадь основания:

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot CH=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ см²

Объем пирамиды:

$V=\dfrac{1}{3}S_{ABC}\cdot SC$

$V=\dfrac{1}{3}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=8\sqrt{3}$ см³

Answer 2

Чтобы найти объем пирамиды, мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды:

V = (1/3) * S_base * h

где V - объем пирамиды, S_base - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала определим площадь основания S_base. Она состоит из трех частей: площади треугольника S_abc, площади круга, описанного вокруг треугольника, и площади треугольника acs. Затем найдем высоту пирамиды h.

1. Площадь треугольника S_abc:

S_abc = (1/2) * ab * bc

Известно, что угол между ab и bc равен 60 градусов, а сторона ab равна 12 корней из 2 (как указано в задаче). Таким образом:

S_abc = (1/2) * 12√2 * 12√2 * sin(60°) = 12 * 12√2 * (sqrt(3)/2) = 72√6

2. Площадь круга, описанного вокруг треугольника:

Для нахождения площади круга, радиус которого равен 3 см, мы воспользуемся формулой для площади круга:

S_circle = π * r^2

S_circle = π * 3^2 = 9π

3. Площадь треугольника acs:

S_acs = (1/2) * ac * cs

Поскольку треугольник acs прямоугольный и один из его углов равен 90 градусов, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины ac:

ac^2 = as^2 + cs^2 ac^2 = ab^2 + bs^2 ac = √(ab^2 + bs^2)

ac = √((12√2)^2 + (12√2)^2) = √(2 * 288) = 12√2 * √2 = 24

Теперь можно найти площадь треугольника acs:

S_acs = (1/2) * 24 * 12√2 = 12 * 24√2 = 288√2

Теперь мы можем найти общую площадь основания S_base:

S_base = S_abc + S_circle + S_acs S_base = 72√6 + 9π + 288√2

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды h. Высота пирамиды h - это расстояние от вершины пирамиды S до плоскости основания abc.

Из рисунка можно заметить, что h - это высота треугольника acs, которая равна стороне cs (так как треугольник acs прямоугольный).

h = cs = 12√2

Теперь, когда у нас есть S_base и h, мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S_base * h V = (1/3) * (72√6 + 9π + 288√2) * (12√2)

Теперь давайте вычислим значение объема пирамиды с помощью калькулятора:

V ≈ 4705.85 кубических сантиметров

Таким образом, объем данной пирамиды составляет примерно 4705.85 кубических сантиметров.