Question

Сколькими способами можно группу из 13 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более четырех, а во второй – не более десяти человек?

Answer 1

Ответ:

1001 способов

Пошаговое объяснение:

Нужно знать: Сочетанием из n элементов по m называется любой выбор m элементов, взятых из n элементов.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают и вычисляют по формуле:

$\displaystyle \tt C_N^M= \frac{N!}{M! \cdot (N-M)!} .$

Если первая подгруппа состоит из 3 человек, то вторая подгруппа состоит из 10 человек, если первая подгруппа состоит из 4 человек, то вторая подгруппа состоит из 9 человек. По условию других вариантов не может быть. Значит, определение первой группы определяет и вторую группу. Поэтому достаточно рассмотреть способы выбора в первую группу.

Подгруппу из 3 человек среди 13 человек можно выбрать

$\displaystyle \tt C_{13}^3= \frac{13!}{3! \cdot (13-3)!} =\frac{10! \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13}{3! \cdot 10!} =\frac{11 \cdot 12 \cdot 13}{1 \cdot 2 \cdot 3} =11 \cdot 2 \cdot 13=286$

способами, подгруппу из 4 человек среди 13 человек можно выбрать

$\displaystyle \tt C_{13}^4= \frac{13!}{4! \cdot (13-4)!} =\frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13}{4! \cdot 9!} =\frac{10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 } =5 \cdot 11 \cdot 1 \cdot 13=715$

способами.

Учитывая, что выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, найдём по правилу сложения искомое число способов:

$\displaystyle \tt C_{13}^3+C_{13}^4=286+715=1001.$

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать комбинаторику и принцип умножения. В данном случае, у нас есть две подгруппы: одна с не более чем 4 человеками, а вторая с не более чем 10 человеками.

1. Выберем, сколько человек будет в первой подгруппе. Мы можем выбрать от 0 до 4 человек.
2. Остальные (13 - количество человек в первой подгруппе) попадут во вторую подгруппу.

Давайте рассмотрим все возможные варианты:

1. В первой подгруппе 0 человек, а во второй подгруппе 13 человек - 1 способ.
2. В первой подгруппе 1 человек, а во второй подгруппе 12 человек - 13 способов.
3. В первой подгруппе 2 человека, а во второй подгруппе 11 человек - 78 способов.
4. В первой подгруппе 3 человека, а во второй подгруппе 10 человек - 286 способов.
5. В первой подгруппе 4 человека, а во второй подгруппе 9 человек - 715 способов.

Теперь сложим все эти способы вместе:

1 + 13 + 78 + 286 + 715 = 1093

Итак, можно разбить группу из 13 человек на две подгруппы, удовлетворяя указанным условиям, 1093 различными способами.