Question

Найти производную y=log3(x+5)*arccos(3x)

Answer 1

Ответ:

$y = log_{3}(x + 5) \times arccos(3x)$

$y' = \frac{1}{ ln(3) \times (x + 5) } \times arccos(3x) - \frac{1}{ \sqrt{1 - 9 {x}^{2} } } \times 3 log_{3}(x + 5) = \\ = \frac{arccos(3x)}{(x + 5) ln(3) } - \frac{3 log_{3}(x + 5) }{ \sqrt{1 - 9 {x}^{2} } }$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $y = \log_3(x+5) \cdot \arccos(3x)$, мы воспользуемся правилом производной произведения двух функций. Это правило гласит, что производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию, плюс произведение первой функции на производную второй функции. Математически это выглядит так:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

В данном случае, мы можем выбрать $u = \log_3(x+5)$ и $v = \arccos(3x)$, затем найдем производные этих функций и применим формулу.

1. Найдем производную $u$: $u = \log_3(x+5)$ Используем правило дифференцирования логарифма: $u' = \frac{1}{\ln(3)} \cdot \frac{1}{x+5} \cdot \frac{d}{dx}(x+5)$ $u' = \frac{1}{\ln(3)} \cdot \frac{1}{x+5}$

2. Теперь найдем производную $v$: $v = \arccos(3x)$ Используем правило дифференцирования арккосинуса: $v' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}} \cdot \frac{d}{dx}(3x)$ $v' = -\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$

Теперь мы можем применить формулу производной произведения функций:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ $(\log_3(x+5) \cdot \arccos(3x))' = \left(\frac{1}{\ln(3)} \cdot \frac{1}{x+5}\right) \cdot \arccos(3x) + \log_3(x+5) \cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}\right)$

Теперь у нас есть производная функции $y$:

$y' = \frac{1}{\ln(3)} \cdot \frac{1}{x+5} \cdot \arccos(3x) - \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}} \cdot \log_3(x+5)$

Это и есть производная заданной функции $y$.