Question

Функция y=f(x) дифференцируема на R. Верно ли а) если f^'(x)>0 для всех x, то f(x)>0 для всех x; б) если f^'(3)=0, то ф-я f имеет максимум или минимум в точке x=3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

А)если производная функции больше 0, это означает, что функция возрастает для всех х, поэтому первое утверждение неверно

Б)если производная в точке 3 равна 0, это означает, что данная точка является стационарной точкой, но функция не всегда имеет в ней максимум или минимум. Для этого необходимо , чтобы при переходе через эту точку производная меняла свой знак. Поэтому второе утверждение тоже неверно.

Answer 2

а) Если производная функции $f'(x)$ положительна для всех $x$, то это говорит о том, что функция $f(x)$ монотонно возрастает на всей области определения $R$. Однако это не означает, что сама функция $f(x)$ всегда положительна. Функция может быть положительной, отрицательной или нулевой в зависимости от начальных условий и формы самой функции. Таким образом, утверждение "если $f'(x) > 0$ для всех $x$, то $f(x) > 0$ для всех $x$" неверно.

б) Если $f'(3) = 0$, то это означает, что производная функции обращается в нуль в точке $x = 3$. Однако это не достаточное условие для определения, является ли точка $x = 3$ точкой максимума, минимума или точкой перегиба. Для определения характера точки необходимо рассмотреть более высокие производные и вторую производную в данной точке. Если $f''(3) > 0$, то это будет указывать на наличие локального минимума, а если $f''(3) < 0$, то на наличие локального максимума. Если $f''(3) = 0$ или отсутствует, то данная информация не позволяет сделать вывод о характере точки.