Question

Пять городов А, Б, В, Г и Д соединили дорогами так, что степень каждой вершины полученного графа была равна 2. Теперь хотят проложить еще одну дорогу. Сколько есть различных вариантов это сделать? Укажите свой ответ Как изменится решение, если городов будет не 5, а n?

Answer 1

Ответ: 5

Пошаговое объяснение:

Решение: т.к. каждая вершина имеет степень 2, то их можно расположить по кругу. Получится правильный n-угольник. Значит количество возможных способов провести третью дорогу равно числу диагоналей. Далее, первую точку можно выбрать n способами, вторую - n-3 способами. Затем нам осталось учесть, что так мы посчитали каждую диагональ дважды, т.е. разделить это число на 2.

Answer 2

Для начала, рассмотрим ситуацию с пятью городами (А, Б, В, Г, Д). Граф, в котором степень каждой вершины равна 2, будет выглядеть следующим образом:

cssCopy code
  A---B
  |   |
  D---C

Сейчас у нас есть два возможных пути: AB и CD. Для добавления одной дополнительной дороги мы можем выбрать любую из оставшихся трех пар городов (AD, AC, BC) и соединить их. Таким образом, у нас есть три различных варианта добавления еще одной дороги.

Теперь рассмотрим общий случай с n городами. Граф будет представлять собой цикл, где каждая вершина соединена с двумя другими вершинами. В этом случае, чтобы добавить еще одну дорогу, у нас будет n-1 возможных пар городов, которые можно соединить. Таким образом, для n городов существует (n-1) способ добавить еще одну дорогу.

Итак, ответ на ваш первый вопрос:

• Для 5 городов (n=5) есть 3 различных способа добавить еще одну дорогу.

Теперь ответ на ваш второй вопрос:

• Для n городов существует (n-1) различных способов добавить еще одну дорогу.