Question

Найдите точки пересечения прямой y = x + 1 с кривой, заданной уравнением: а) x2 + y2 = 13; б) x2 + y2 = 0.5;

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y = x + 1

1)  x² + y² = 13

подставляем уравнение прямой в у равнение окружности

x²+(x+1)²=13 ⇒ 2x² + 2x-12 = 0 ⇒   x1 = 2; y= 3;  x₂ =-3; y= -2

(2; 3)   (-3; -2)

2) x²+y² =0.5; ⇒ 2x² +2x +0.5 = 0 ⇒  x₁=x₂= -0.5; y= 0.5

(-0.5; 0.5)

Answer 2

Чтобы найти точки пересечения прямой y = x + 1 с кривой, заданной уравнением x^2 + y^2 = r^2, где r - радиус окружности, выполните следующие шаги:

а) Для уравнения x^2 + y^2 = 13 и прямой y = x + 1:

1. Подставьте выражение для y из уравнения прямой в уравнение окружности:

   x^2 + (x + 1)^2 = 13

2. Решите полученное уравнение для x:

   x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 13 2x^2 + 2x + 1 = 13

3. Приведите уравнение к виду:

   2x^2 + 2x + 1 - 13 = 0 2x^2 + 2x - 12 = 0

4. Решите это квадратное уравнение. Вы можете воспользоваться квадратным уравнением или графически. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

   D = b^2 - 4ac D = (2)^2 - 4(2)(-12) = 4 + 96 = 100

   x1 = (-b + √D) / (2a) = (-2 + 10) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2 x2 = (-b - √D) / (2a) = (-2 - 10) / (2 * 2) = -12 / 4 = -3

5. Теперь найдем соответствующие значения y для x1 и x2, используя уравнение прямой:

   Для x1: y1 = x1 + 1 = 2 + 1 = 3 Для x2: y2 = x2 + 1 = -3 + 1 = -2

Итак, точки пересечения прямой y = x + 1 с кривой x^2 + y^2 = 13 - это (2, 3) и (-3, -2).

б) Для уравнения x^2 + y^2 = 0.5 и прямой y = x + 1:

1. Подставьте выражение для y из уравнения прямой в уравнение окружности:

   x^2 + (x + 1)^2 = 0.5

2. Решите полученное уравнение для x:

   x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 0.5 2x^2 + 2x + 1 = 0.5

3. Приведите уравнение к виду:

   2x^2 + 2x + 1 - 0.5 = 0 2x^2 + 2x + 0.5 = 0

4. Решите это квадратное уравнение. Давайте сначала найдем дискриминант D:

   D = b^2 - 4ac D = (2)^2 - 4(2)(0.5) = 4 - 4 = 0

   x1 = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √0) / (2 * 2) = (-2 + 0) / 4 = -1/2 x2 = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √0) / (2 * 2) = (-2 - 0) / 4 = -1/2

5. Теперь найдем соответствующие значения y для x1 и x2, используя уравнение прямой:

   Для x1: y1 = x1 + 1 = -1/2 + 1 = 1/2 Для x2: y2 = x2 + 1 = -1/2 + 1 = 1/2

Итак, точка пересечения прямой y = x + 1 с кривой x^2 + y^2 = 0.5 - это (1/2, 1/2).