Question

Найти угол между плоскостью, проходящей через точки О (0; 0; 0), М (0; 2; –2) и N (2; 2; 2), и плоскостью УOZ

Answer 1

Дано:

- точки, принадлежащие плоскости П: О(0; 0; 0), М(0; 2; –2), N(2; 2; 2),  

- плоскость yOz.

Находим векторы:

ОМ = (0; 2; –2), ОN (2; 2; 2).

Нормальный вектор n плоскости П равен векторному произведение векторов ОМ и ОN.

i           j            k|            i             j

0         2           -2|           0|           2

2         2            2|           2            2  =  4i - 4j + 0k - 0j + 4i - 4k = 8i - 4j - 4k.

                                                        n = (8; -4; -4).

У координатной плоскости yOz нормальным вектором является координатный вектор k=(1; 0; 0).

Находим косинус угла α между нормальными векторами плоскостей П и плоскостью yOz это и будет угол между заданными плоскостями.  

Сначала надо определить модули векторов:

|n| = √(8² + (-4)² + (-4)²) = √(64 + 16 +16) = √96 = 4√6.

|k| = 1.

cos α = (8*1 + -4*0 + -4*0)/(4√6*1) = 8/4√6 = 2/√6 = √(2/3).

α = arc cos(√(2/3)) = 0,61548 радиан или 35,26439 градуса.

Answer 2

Ответ:

$\alpha=\arccos\sqrt{\frac{2}{3}}$

Пошаговое объяснение:

Составим уравнение плоскости, проходящей через эти точки.

Далее решение в приложении

Answer 3

Для нахождения угла между плоскостью, проходящей через точки O (0; 0; 0), M (0; 2; -2) и N (2; 2; 2), и плоскостью YOZ, мы можем воспользоваться следующим методом:

1. Найдем нормальный вектор к плоскости, проходящей через точки O, M и N. Для этого мы можем воспользоваться векторным произведением двух векторов, лежащих в этой плоскости. Векторы можно найти как разности координат точек:

   Вектор OA = M - O = (0; 2; -2) - (0; 0; 0) = (0; 2; -2) Вектор OB = N - O = (2; 2; 2) - (0; 0; 0) = (2; 2; 2)

2. Найдем нормальный вектор к плоскости YOZ. Эта плоскость параллельна плоскости XOZ и имеет нормальный вектор (1; 0; 0).

3. Теперь мы имеем два нормальных вектора: один для плоскости, проходящей через O, M и N, и другой для плоскости YOZ. Для нахождения угла между плоскостями, можно использовать формулу скалярного произведения двух векторов:

   cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)

   Где A и B - нормальные векторы к плоскостям.

   В нашем случае, A = (0; 2; -2) и B = (1; 0; 0).

   |A| = √(0^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(0 + 4 + 4) = √8 = 2√2 |B| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = √1 = 1

   Теперь вычислим скалярное произведение A и B:

   A · B = (01) + (20) + (-2*0) = 0

   Теперь мы можем найти cos(θ):

   cos(θ) = 0 / (2√2 * 1) = 0

4. Наконец, найдем угол θ, воспользовавшись обратной функцией косинуса:

   θ = arccos(0) = 90 градусов

Итак, угол между плоскостью, проходящей через точки O, M и N, и плоскостью YOZ, равен 90 градусов.