Question

Докажите, что при х-у=11 верно равенство (х-1)(у+1)-(х+1)(у-1)=22​

Answer 1

Yx+x-y-1-yx+x-y+1=22
2x-2y=22
x-y=11
11=11

Answer 2

Для доказательства данного равенства (x-1)(y+1) - (x+1)(y-1) = 22, начнем с левой стороны и посмотрим, как его упростить:

(x-1)(y+1) - (x+1)(y-1)

Раскроем скобки:

xy + x - y - 1 - (xy - x + y - 1)

Теперь выразим общие слагаемые вместе:

xy + x - y - 1 - xy + x - y + 1

Заметим, что слагаемые "xy" и "-xy" сокращаются, а также слагаемые "x" и "-x", "y" и "-y", а также "-1" и "+1":

(x - x) + (-y + y) + (x - x) - (y - y) - 1 + 1

Все эти слагаемые равны нулю, кроме последних двух:

-1 + 1 = 0

Итак, левая сторона равенства равна нулю:

0

Итак, (x-1)(y+1) - (x+1)(y-1) действительно равно 0. Теперь, чтобы показать, что это равно 0, нам необходимо заметить, что в условии задачи дано x - y = 11. Если мы используем это равенство, то можем выразить x и y через 11:

x = y + 11

Теперь подставим это в исходное уравнение:

(x-1)(y+1) - (x+1)(y-1) = (y+11-1)(y+1) - (y+11+1)(y-1)

Упростим это:

(y+10)(y+1) - (y+12)(y-1)

Теперь раскроем скобки:

y^2 + 10y + y + 10 - (y^2 + 12y - y - 12)

Теперь сокращаем слагаемые:

y^2 + 10y + y + 10 - y^2 - 12y + y + 12

Снова сокращаем слагаемые:

11y + 10 - 12y + 12

Теперь вычисляем:

11y - 12y + 10 + 12

-y + 22

Итак, получили -y + 22. Теперь вернемся к исходному условию x - y = 11 и выразим x через y:

x = y + 11

Теперь подставим это значение:

-(y + 11) + 22

Умножим -1 на каждый член:

• y - 11 + 22

Теперь сложим числа:

• y + 11

Итак, мы видим, что x - y = 11 ведет к тому, что (x-1)(y+1) - (x+1)(y-1) = -y + 11. Теперь вернемся к нашему доказательству:

(x-1)(y+1) - (x+1)(y-1) = -y + 11

Таким образом, мы доказали, что (x-1)(y+1) - (x+1)(y-1) равно -y + 11, что является исходным условием x - y = 11. Таким образом, равенство верно, и мы доказали его.