Question

Пределы Х к бесконечности ((х+2)/х)^(3-2х)

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{e^4}$

Пошаговое объяснение:

Сразу проглядывает тут Второй Замечательный Предел: $\lim_{n \to \infty} (1 + n)^\frac{1}{n} = e$

Значит, надо пытаться к нему приводить:

Преобразуем выражение:

$\lim_{x \to \infty}(\frac{x+2}{x})^{3-2x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^{-2x+3} = \lim_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{\frac{x}{2} })^{\frac{x}{2}*\frac{2}{x}*(-2x+3)} =$

Получили ВЗП

Теперь воспользуемся такой штукой: перейдём от предела степени к степени предела, т.е., к этому:

$= e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}*(-2x+3)} = e^{ \lim_{x \to \infty} \frac{-4x + 6}{x}} =$

Решаем верхний предел, получаем ответ:

$= e^{-4} = \frac{1}{e^4}$

Answer 2

Для нахождения предела данной функции при $x$ стремящемся к бесконечности ($x \to \infty$), мы можем воспользоваться правилом Лопиталя или просто раскрыть скобки и упростить выражение.

Давайте начнем с раскрытия скобок:

$$\left(\frac{x+2}{x}\right)^{3-2x} = \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3-2x}$$

Теперь мы можем рассмотреть предел этой функции при $x \to \infty$:

$$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3-2x}$$

Теперь давайте воспользуемся свойствами пределов. Мы видим, что внутри степени $3-2x$ стоит моном $x$, который стремится к бесконечности, и моном $\frac{2}{x}$, который стремится к 0 при $x \to \infty$.

Поэтому мы можем использовать стандартный предел $(1 + \frac{a}{x})^x$, который равен $e^a$, где $a$ - константа. В данном случае $a = -2$, так как $\lim_{{x \to \infty}} \frac{2}{x} = 0$.

Итак, предел вашей функции равен:

$$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3-2x} = \left(1 + \lim_{{x \to \infty}} \frac{2}{x}\right)^{-2} = (1 + 0)^{-2} = 1^{-2} = 1$$

Таким образом, предел $\left(\frac{x+2}{x}\right)^{3-2x}$ при $x \to \infty$ равен 1.