Question

Даю 100 баллов Исследовать свойства функции и построить её график y = x^3+6x^2+9x+3 с полным описанием и хода действий пожалуйста

Answer 1

Ответ:

===================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, я помогу вам исследовать свойства функции y = x^3 + 6x^2 + 9x + 3 и построить её график. Для начала давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем производные функции:

a) Найдем первую производную (производную функции по x) y':

y' = d/dx (x^3 + 6x^2 + 9x + 3)

Для этого применим правила дифференцирования:

y' = 3x^2 + 12x + 9

b) Найдем вторую производную y'' (производную первой производной) функции:

y'' = d/dx (3x^2 + 12x + 9)

y'' = 6x + 12

2. Найдем точки экстремума и инфлекции:

a) Для нахождения точек экстремума приравняем первую производную к нулю:

3x^2 + 12x + 9 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

x^2 + 4x + 3 = 0

(x + 1)(x + 3) = 0

Отсюда получаем два корня:

x1 = -1 и x2 = -3

b) Чтобы определить характер точек экстремума, используем вторую производную:

Для x = -1: y''(-1) = 6*(-1) + 12 = 6 > 0, что означает, что это точка минимума.

Для x = -3: y''(-3) = 6*(-3) + 12 = -18 < 0, что означает, что это точка максимума.

3. Найдем точку перегиба:

Для нахождения точки перегиба приравняем вторую производную к нулю:

6x + 12 = 0

6x = -12

x = -2

4. Найдем значения функции в критических точках:

a) Для x = -1:

y(-1) = (-1)^3 + 6*(-1)^2 + 9*(-1) + 3 = -1 + 6 - 9 + 3 = -1

b) Для x = -3:

y(-3) = (-3)^3 + 6*(-3)^2 + 9*(-3) + 3 = -27 + 54 - 27 + 3 = 3

c) Для x = -2 (точка перегиба):

y(-2) = (-2)^3 + 6*(-2)^2 + 9*(-2) + 3 = -8 + 24 - 18 + 3 = 1

5. Построим график функции:

Теперь у нас есть достаточно информации для построения графика. Нарисуем оси координат, отметим точки экстремума и перегиба, а также вычисленные значения функции в этих точках. Затем соединим точки гладкой кривой:

График функции y = x^3 + 6x^2 + 9x + 3 будет выглядеть примерно так:

bashCopy code
    |
    |
    |     * (0, 3)
    |    
    |
    |        *
    |       / \
    |      /   \
    |     /     \
    |    /       \
    |   /         \
    |  /           \
    | /             \
    |/_______________\
   -4 -3 -2 -1  0  1  2

На графике выше звездочками обозначены точки экстремума и перегиба, а числа на оси x - это координаты по горизонтальной оси.

Это основные свойства функции y = x^3 + 6x^2 + 9x + 3, её точки экстремума, точка перегиба и график.