Question

Решить квадратное уравнение тремя способами: через теорему Виета, дискриминант и приведение к полному квадрату. Уравнение: 15x² - 20x + 5 = 0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Квадратное уравнение 15x² - 20x + 5 = 0 можно решить тремя способами: через теорему Виета, дискриминант и приведение к полному квадрату.

Способ 1: Решение через теорему Виета

Теорема Виета утверждает, что для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 с корнями x₁ и x₂ выполняются следующие равенства:

x₁ + x₂ = -b/a x₁ * x₂ = c/a

В нашем случае a = 15, b = -20 и c = 5. Теперь мы можем использовать эти формулы, чтобы найти корни:

x₁ + x₂ = -(-20) / 15 = 20/15 = 4/3

x₁ * x₂ = 5 / 15 = 1/3

Теперь у нас есть система уравнений:

x₁ + x₂ = 4/3 x₁ * x₂ = 1/3

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или сложением/вычитанием. Давайте используем метод подстановки:

Предположим, что x₁ = t, тогда x₂ = 4/3 - t.

Теперь подставим это во второе уравнение:

t * (4/3 - t) = 1/3

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:

3t(4/3 - t) = 1

Умножим 3 на каждый член:

4t - 3t² = 1

Перенесем все члены влево:

3t² - 4t + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение можно решить методами дискриминанта или приведения к полному квадрату.

Способ 2: Решение через дискриминант

Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, дискриминант вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

В нашем случае a = 15, b = -20 и c = 5:

D = (-20)² - 4 * 15 * 5 D = 400 - 300 D = 100

Теперь, если дискриминант положителен (D > 0), то у нас есть два корня, которые можно найти по следующей формуле:

x₁ = (-b + √D) / (2a) x₂ = (-b - √D) / (2a)

Подставим значения:

x₁ = (-(-20) + √100) / (2 * 15) x₁ = (20 + 10) / 30 x₁ = 30 / 30 x₁ = 1

x₂ = (-(-20) - √100) / (2 * 15) x₂ = (20 - 10) / 30 x₂ = 10 / 30 x₂ = 1/3

Таким образом, корни уравнения:

x₁ = 1 x₂ = 1/3

Способ 3: Решение приведением к полному квадрату

Исходное уравнение: 15x² - 20x + 5 = 0

Для приведения к полному квадрату, сначала поделим все члены на коэффициент a (15):

x² - (20/15)x + (5/15) = 0

x² - (4/3)x + 1/3 = 0

Теперь добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при x (4/3)² = 16/9:

x² - (4/3)x + 16/9 - 16/9 + 1/3 = 0

Теперь приведем первые три члена к виду полного квадрата:

(x - 4/3)² - 16/9 + 3/9 = 0

(x - 4/3)² - 13/9 = 0

Теперь выразим x - 4/3:

(x - 4/3)² = 13/9

Извлечем квадратный корень с обеих сторон:

x - 4/3 = ±√(13/9)

x - 4/3 = ±(√13/3)

Теперь добавим 4/3 ко всем частям:

x = 4/3 ± √(13/3)

Таким образом, корни уравнения:

x₁ = 4/3 + √(13/3) x₂ = 4/3 - √(13/3)

Это и есть решение уравнения.