Question

Помогите решить: Cos3x=cos5x+4pi/3*sinx

Answer 1

Если нужен был график то держи

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение:

$\cos(3x) = \cos(5x) + \frac{4\pi}{3} \sin(x)$

Используем тригонометрические тождества для косинуса и синуса:

$\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$ $\cos(5x) = 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x)$ $\sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$4\cos^3(x) - 3\cos(x) = 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x) + \frac{4\pi}{3} \cdot 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$

Распишем синус и косинус угла в половине:

$4\cos^3(x) - 3\cos(x) = 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x) + \frac{8\pi}{3} \sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$

$4\cos^3(x) - 3\cos(x) = 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x) + \frac{8\pi}{3} \sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$

Теперь представим $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ через $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ с использованием тождества $\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1$:

$4\cos^3(x) - 3\cos(x) = 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x) + \frac{8\pi}{3} \sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$

Упростим выражение:

$4\cos^3(x) - 3\cos(x) = 16\cos^5(x) - 20\cos^3(x) + 5\cos(x) + \frac{8\pi}{3} \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \sqrt{1 - \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$