Question

Медианы AM и CN треугольника ABC равны 9 см и 12 см и пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника АОС и четырехугольника BMON, если ∠AOC = 120° ДАЮ 50 БАЛЛОВ!

Answer 1

Вот тоже самое, только угол 150°

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC с медианами AM и CN. Так как медианы пересекаются в точке O, то O - это центр масс треугольника ABC.

Мы знаем, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника. Поэтому площадь треугольника ABC равна удвоенной площади треугольника АОС.

Площадь треугольника ABC (S_ABC) равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CN = \frac{1}{2} \cdot 9 \, \text{см} \cdot 12 \, \text{см} = 54 \, \text{см}^2$

Теперь мы можем найти площадь треугольника АОС:

$S_{AOS} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 54 \, \text{см}^2 = 27 \, \text{см}^2$

Теперь обратим внимание на четырехугольник BMON. Поскольку O - центр масс треугольника ABC, то MO - это половина медианы CN, а BN - половина медианы AM.

$MO = \frac{1}{2} \cdot 12 \, \text{см} = 6 \, \text{см}$ $BN = \frac{1}{2} \cdot 9 \, \text{см} = 4.5 \, \text{см}$

Площадь четырехугольника BMON равна разности площадей треугольников MON и BNO:

$S_{BMON} = S_{MON} - S_{BNO}$

Так как MON - это треугольник с высотой MO и основанием ON, его площадь равна:

$S_{MON} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot ON = \frac{1}{2} \cdot 6 \, \text{см} \cdot 12 \, \text{см} = 36 \, \text{см}^2$

Треугольник BNO - это треугольник с высотой BN и основанием NO, его площадь равна:

$S_{BNO} = \frac{1}{2} \cdot BN \cdot NO = \frac{1}{2} \cdot 4.5 \, \text{см} \cdot 12 \, \text{см} = 27 \, \text{см}^2$

Теперь можем найти площадь четырехугольника BMON:

$S_{BMON} = S_{MON} - S_{BNO} = 36 \, \text{см}^2 - 27 \, \text{см}^2 = 9 \, \text{см}^2$

Итак, площадь треугольника АОС равна $27 \, \text{см}^2$, а площадь четырехугольника BMON равна $9 \, \text{см}^2$.