Question

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°. Произведе- ние длин (в сантиметрах) гипотенузы и меньшего катета равно 128. Найдите длины (в сантиметрах) меньшего катета и гипотенузы.

Answer 1

Ответ:

8 см и 16 см.

Пошаговое объяснение:

1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, тогда второй острый угол равен 90° - 60° = 30°.

2) Напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

Обозначим длину катета за х см, тогда длина гипотенузы будет 2х см.

Зная, что произведение длин гипотенузы и меньшего катета равно 128, составим и решим уравнение:

х •2х = 128

х² = 128 : 2

х² = 64

х > 0, х = 8.

8 см - длина меньшего катета

8 •2 = 16 (см) - длина гипотенузы.

Answer 2

Пусть х - длина меньшего катета.
Тогда 2х - длина гипотенузы, поскольку в прямоугольном треугольнике с углом 60° меньший катет равен половине гипотенузы.

Уравнение:
2х • х = 128
2х^2 = 128
х^2 = 128 : 2
х^2 = 64
х = √64
х1 = 8
х2 = -8 - не подходит, так как длина не может быть отрицательной.
х = 8 см - длина меньшего катета.
2х = 2•8 = 16 см - длина гипотенузы.

Ответ: 8 см; 16 см.

ПРОВЕРКА:
8 • 16 = 128

Answer 3

Давайте обозначим длину меньшего катета через $a$ и гипотенузу через $c$. Мы знаем, что один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, что делает другой угол равным 30°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения $a$ и $c$. В частности, мы знаем, что:

$\sin(30^\circ) = \frac{a}{c}$

Синус 30° равен $0.5$, так что:

$\frac{a}{c} = 0.5$

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает $a$ и $c$. Мы также знаем, что произведение длин гипотенузы и меньшего катета равно 128:

$ac = 128$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\frac{a}{c} = 0.5$

$ac = 128$

Мы можем решить эту систему уравнений, разделив второе уравнение на первое:

$\frac{ac}{a/c} = \frac{128}{0.5}$

$c^2 = 256$

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

$c = \sqrt{256} = 16$

Теперь, когда у нас есть значение $c$, мы можем найти $a$ с использованием первого уравнения:

$\frac{a}{16} = 0.5$

$a = 0.5 \cdot 16$

$a = 8$

Итак, длина меньшего катета $a$ равна 8 сантиметрам, а длина гипотенузы $c$ равна 16 сантиметрам.