Question

Высота конуса равна 3 см, а его объем - 27π см3. Найдите образующую конуса. (с объяснением, пожалуйста)

Answer 1

Чертёж прикреплён ниже.

На чертеже HB является радиусом основания конуса, AC и CB - образующие, а CH - высота конуса.

Запишем формулу объёма конуса:

$V = \dfrac{1}{3}S_{OCH}\cdot h = \dfrac{1}{3}\cdot \pi R^2h$ , где  $S_{OCH}$ - это площадь основания конуса, $h$ - высота, коей является отрезок CH, а $R$ - радиус основания конуса, коим является отрезок HB.

Из полученной формулы выразим радиус и подставим известные из условия величины:

$V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h\\\\\\R = \sqrt{\dfrac{3V}{\pi h}} = \sqrt{\dfrac{3\cdot 27\pi}{\pi\cdot 3}} = \sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}\ _{CM}$

Теперь рассмотрим треугольник, обозначенный на моём чертеже как CHB. Он является прямоугольным, поскольку CH - это высота конуса. Распишем для него теорему Пифагора:

$CH^2 + HB^2 = CB^2$

Можно заметить, что CH - это известная нам из условия высота, HB - радиус основания, который мы только что нашли, а CB - искомая образующая конуса. Выразим её через теорему Пифагора и вычислим значение:

$CB = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{3^2 + \left(3\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6\ _{CM}$ .

Ответ: 6 см.

Answer 2

Для нахождения образующей конуса (длины от вершины до основания) можно воспользоваться формулой объема конуса и выразить образующую.

Объем конуса вычисляется по формуле: V = (1/3) * π * r^2 * h,

где: V - объем конуса, π - число Пи (приближенно 3.14159), r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Мы знаем, что высота конуса равна 3 см и объем равен 27π см³. Подставим эти значения в формулу и найдем радиус основания (r):

27π = (1/3) * π * r^2 * 3.

Для начала, давайте избавимся от π в левой части уравнения, разделив обе стороны на π:

27 = (1/3) * r^2 * 3.

Далее, упростим уравнение:

27 = r^2 * 1.

Теперь можно выразить радиус (r^2):

r^2 = 27.

Чтобы найти r, возьмем квадратный корень с обеих сторон:

r = √27.

Раскроем корень:

r ≈ 5.196 см.

Теперь, когда у нас есть радиус основания (r), можно найти образующую конуса, используя теорему Пифагора. Образующая (l) является гипотенузой прямоугольного треугольника, где одна сторона равна радиусу (r), а другая сторона равна высоте (h) конуса:

l = √(r^2 + h^2).

Подставим значения:

l = √((5.196 см)^2 + (3 см)^2),

l = √(27 + 9),

l = √36,

l = 6 см.

Таким образом, образующая конуса равна 6 см.