Question

3. Найдите косинус угла между прямыми, заданными уравнениями 3х – 4у + 8 = 0 и 12х + 5у — 19 = 0.

Answer 1

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0, вычисляется по формуле:

cos φ = (A1A2 + B1B2)/(√(A1² + B1²)*√(A2² + B2²).

cos φ = (3*12 + (-4)*5)/(√(3² + (-4)²)*√(12² + 5²) =

          = (36 - 20)/(5*13) = 16/65 ≈ 0,246153846.

Угол равен:

радиан                          градусов

1,322086338                   75,7499673

Answer 2

Для того чтобы найти косинус угла между двумя прямыми, заданными уравнениями, следует воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя прямыми в пространстве. Пусть у нас есть две прямые с направляющими векторами $\mathbf{v_1} = (a_1, b_1)$ и $\mathbf{v_2} = (a_2, b_2)$. Тогда косинус угла между этими прямыми можно найти по формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2}}{\lVert \mathbf{v_1} \rVert \lVert \mathbf{v_2} \rVert}$

где $\cdot$ обозначает скалярное произведение векторов, а $\lVert \mathbf{v} \rVert$ обозначает норму (длину) вектора $\mathbf{v}$.

Для начала найдем направляющие векторы для данных прямых, исходя из их уравнений.

1. Уравнение прямой 1: $3x - 4y + 8 = 0$

Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{3}{4}x + 2$

Таким образом, направляющий вектор для прямой 1: $\mathbf{v_1} = (1, \frac{3}{4})$.

2. Уравнение прямой 2: $12x + 5y - 19 = 0$

Выразим $y$ через $x$:

$y = -\frac{12}{5}x + \frac{19}{5}$

Направляющий вектор для прямой 2: $\mathbf{v_2} = (1, -\frac{12}{5})$.

Теперь найдем косинус угла между этими векторами:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2}}{\lVert \mathbf{v_1} \rVert \lVert \mathbf{v_2} \rVert}$

$\cos(\theta) = \frac{(1) \cdot (1) + (\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{12}{5})}{\sqrt{1^2 + (\frac{3}{4})^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-\frac{12}{5})^2}}$

$\cos(\theta) = \frac{1 - \frac{9}{10}}{\sqrt{1 + \frac{9}{16}} \cdot \sqrt{1 + \frac{144}{25}}}$

$\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16} \cdot \frac{169}{25}}}$

$\cos(\theta) = \frac{4}{13}$

Таким образом, косинус угла $\theta$ между данными прямыми равен $\frac{4}{13}$.