Question

учащемуся 9 класса нужно было доказать, что значение суммы 2k+3/k-1 больше 3,где k-натуральное и не равное 1 число.ученик подставил вместо k число 2 и, допустив ошибку при вычислении, сказал, что это доказать невозможно. как считаете Вы? Аргументируйте свою точку зрения. ​

Answer 1

Если скобок нет, то выражение  можно переписать так

2*(к+1/к) +1/к-1

если к больше 0, то

к+1/к>=2

Действительно, умножив обе части на к, перепишем последнее неравенство так

к^2-2к+1=(к-1)^2>=0

Значит выражение

больше либо равно

4+1/к-1>3  для положительных к.

Сказано, что к -натуральное, значит утверждение верно.

Впрочем, для натуральных к всё рассуждение не нужно, оно необходимо для любых положительных к.

Для натуральных к достаточно убедиться , что утвержение верно для к=1 (2+3-1 больше 3), а дальше функция представленная  данным выражением при натуральных к , очевидно, монотонно возрастает (разность между соседними значениями при к и к+1 равна 2+(1/(к+1)-1/к)  и пложительна)

Answer 2

Чтобы определить, правильно ли ученик утверждает, что значение суммы 2k+3/k-1 больше 3, мы можем провести вычисления для k = 2 и проверить, действительно ли это невозможно. Давайте это сделаем:

Подставим k = 2:

2k + 3 / (k - 1) = 2 * 2 + 3 / (2 - 1) = 4 + 3 / 1 = 4 + 3 = 7

Таким образом, при k = 2, значение суммы 2k+3/k-1 равно 7, что больше 3. Ученик ошибся, сказав, что это доказать невозможно.

Мы можем также рассмотреть общий случай для k:

2k + 3 / (k - 1) > 3

Чтобы доказать это неравенство, давайте выразим его в виде одной дроби:

2k + 3 / (k - 1) > 3

Умножим обе стороны на (k - 1), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

(2k + 3)(k - 1) > 3(k - 1)

Раскроем скобки:

2k^2 - 2k + 3k - 3 > 3k - 3

Упростим:

2k^2 + k - 3 > 3k - 3

Теперь вычтем 3k и 3 с обеих сторон:

2k^2 + k - 3 - 3k + 3 < 0

2k^2 - 2k < 0

Теперь факторизуем:

2k(k - 1) < 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей, и нам нужно определить знак этого произведения. Мы видим, что 2k всегда положительно для положительных k, и (k - 1) также положительно для k > 1. Таким образом, произведение положительных чисел всегда будет положительным числом.

Это означает, что неравенство 2k + 3 / (k - 1) > 3 выполняется для всех натуральных чисел k, не равных 1. Ученик был неправ в своем утверждении.