Question

Limx^sinx x-0 правило Лопиталя

Answer 1

Ответ:

х→0

lim[х^(sinx)]=e^lim[sinx•lnх] =e^lim[lnх/(1/sinx)]=

=e^lim[sin²x/(x•cosx)]=e^lim[sin2x/(cosx-x•sinx)]=e^(0/(1-0)=e^0=1.

Пошаговое объяснение:

Теорема Лопита́ля - метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида. и. . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Answer 2

Для применения правила Лопиталя к пределу $\lim_{{x \to 0}} x^{\sin(x)}$, сначала вычислим первоначальный предел, а затем будем проверять, можно ли использовать правило Лопиталя.

При $x \to 0$, $\sin(x)$ также стремится к 0, и мы можем сказать, что $\lim_{{x \to 0}} \sin(x) = 0$.

Теперь попробуем вычислить предел $\lim_{{x \to 0}} x^{\sin(x)}$. Для этого применим правило Лопиталя:

$$\begin{align*} \lim_{{x \to 0}} x^{\sin(x)} &= \exp\left(\lim_{{x \to 0}} \sin(x) \ln(x)\right) \quad \text{(по определению экспоненты)} \\ &= \exp\left(0 \cdot (-\infty)\right) \quad \text{(по пределу } \lim_{{x \to 0}} \sin(x) = 0 \text{ и } \lim_{{x \to 0}} \ln(x) = -\infty\text{)} \\ &= \exp(0) \\ &= 1. \end{align*}$$

Таким образом, $\lim_{{x \to 0}} x^{\sin(x)} = 1$.