Question

Y=x4-4x2 Найдите критические точки

Answer 1

Ответ:

оскільки степені парну то функція буде завжди достатньою

тому найменший х який може бути це 0

підставляємо його

і виходить що у=0

(0:0) це мінімум функції

а максимума немає бо графік іде вгору до безкінечності

Answer 2

Чтобы найти критические точки функции $y = x^4 - 4x^2$, нужно сначала найти производную функции и приравнять её к нулю, чтобы найти значения $x$, где производная равна нулю или не существует. Эти значения $x$ будут критическими точками.

1. Начнем с вычисления производной $y$ по $x$: $y'(x) = \frac{d}{dx} (x^4 - 4x^2).$

Для этого применим правило степенной функции и правило вычитания производной константы: $y'(x) = 4x^3 - 8x.$

2. Теперь приравняем $y'(x)$ к нулю и решим уравнение: $4x^3 - 8x = 0.$

3. Мы можем вынести общий множитель $4x$ из левой стороны уравнения: $4x(x^2 - 2) = 0.$

4. Теперь решим это уравнение для $x$: $4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0,$ $x^2 - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2}.$

Таким образом, у нас есть три критические точки:

1. $x = 0$,
2. $x = \sqrt{2}$,
3. $x = -\sqrt{2}$.

Чтобы найти соответствующие значения $y$ для этих точек, подставьте их в исходную функцию $y = x^4 - 4x^2$:

1. $y(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^2 = 0$,
2. $y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4 (\sqrt{2})^2 = 2 - 8 = -6$,
3. $y(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 4 (-\sqrt{2})^2 = 2 - 8 = -6$.

Таким образом, критические точки функции $y = x^4 - 4x^2$ это:

1. $(0, 0)$,
2. $(\sqrt{2}, -6)$,
3. $(- \sqrt{2}, -6)$.