Question

Найти z^100 если z=2√2/1+¡

Answer 1

Интересно, какого хрена я не могу ответить на это, находясь в 9 классе?

Answer 2

Для нахождения значения z^100, где z = 2√2/(1+¡), мы можем воспользоваться формулой Эйлера для комплексных чисел. Формула Эйлера гласит:

e^(iθ) = cos(θ) + i*sin(θ)

В данном случае, мы можем представить ¡ как i, поскольку ¡ - это комплексная единица. Теперь представим z в виде комплексного числа:

z = 2√2/(1+i)

Чтобы выразить z в виде комплексного числа в форме Эйлера, мы должны найти аргумент (θ) и модуль (r) числа z. Модуль r можно найти следующим образом:

r = |z| = √(2√2)^2 + 1^2 = √(8 + 1) = √9 = 3

Теперь найдем аргумент θ. Для этого найдем угол между вектором (2√2, 1) и положительным направлением оси x:

tan(θ) = 1/(2√2) = √2/4

θ = arctan(√2/4)

Теперь мы можем представить z в виде комплексного числа в форме Эйлера:

z = 3 * (cos(θ) + i*sin(θ))

Теперь возводим z в степень 100:

z^100 = [3 * (cos(θ) + i*sin(θ))]^100

Используем формулу Муавра для возведения в степень комплексного числа:

z^100 = 3^100 * [cos(100θ) + i*sin(100θ)]

Теперь мы можем найти значение cos(100θ) и sin(100θ). Используем тригонометрические свойства:

cos(100θ) = cos(250θ) = cos(2arctan(√2/4)) = cos(arctan(√2/4))

sin(100θ) = sin(250θ) = sin(2arctan(√2/4)) = sin(arctan(√2/4))

Теперь мы должны найти значения cos(arctan(√2/4)) и sin(arctan(√2/4)):

cos(arctan(√2/4)) = √(1 / (1 + (√2/4)^2)) = √(1 / (1 + 1/4)) = √(1 / (5/4)) = √(4/5) = 2/√5

sin(arctan(√2/4)) = (√2/4) / √(1 + (√2/4)^2) = (√2/4) / √(1 + 1/4) = (√2/4) / √(5/4) = (√2/4) / (√5/2) = √2 / (√5 * 2/4) = (2√2) / (√5 * 2) = √2 / √5 = √(2/5)

Теперь мы можем вычислить значение z^100:

z^100 = 3^100 * [cos(arctan(√2/4)) + i*sin(arctan(√2/4))]

z^100 = 3^100 * [(2/√5) + i*(√2/√5)]

Теперь вычислим это значение:

z^100 = 3^100 * (2/√5) + 3^100 * i*(√2/√5)

Это будет комплексным числом. Вычисление значения этого числа будет довольно большим и сложным, но теперь у вас есть точное выражение для z^100 в виде комплексного числа в форме Эйлера.