Question

В классе 25 учащихся. Из них 20 занимаются английским языком, 17 увлекаются плаванием, 14 посещают математический кружок. Докажите, что в классе найдётся хотя бы один ученик, который занимается английским языком, увлекается плаванием и посещает математический кружок. Запишите решение и ответ.

Answer 1

Ответ:

если из 25 английским занимаются 20 значит 5 не занимаются им, эти 5 заниматься плаванием и математикой которых 17 и 14 , тем самым хотя бы 1 человек занимается всем.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом математической индукции.

Пусть множество A представляет собой учеников, занимающихся английским языком; множество B — учеников, увлекающихся плаванием; множество C — учеников, посещающих математический кружок.

Известно, что |A| = 20, |B| = 17, и |C| = 14.

1. Базовый случай: Пусть в классе есть ученик, который занимается английским языком, увлекается плаванием и посещает математический кружок. Предположим, это истинно для одного ученика.

2. Шаг индукции: Предположим, что у нас есть n учеников, которые соответствуют условиям (занимаются английским языком, увлекаются плаванием, посещают математический кружок). Мы хотим показать, что есть n + 1 ученик, соответствующий этим условиям.

   Поскольку |A| = 20, |B| = 17, и |C| = 14, применим принцип включения-исключения: |A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

   Минимально возможное количество учеников в классе, которые не соответствуют условиям (не занимаются английским языком, не увлекаются плаванием, не посещают математический кружок), будет: |A' ∩ B' ∩ C'| = 25 - |A ∩ B ∩ C|

   Теперь допустим, что каждый из n учеников соответствует условиям. Рассмотрим (n + 1)-го ученика. Этот ученик может либо заниматься английским языком, либо увлекаться плаванием, либо посещать математический кружок. Или он не соответствует ни одному из этих условий.

   Таким образом, у нас есть 3 возможности для этого ученика:

   • Он соответствует условиям A, B и C (то есть, он удовлетворяет условиям).
   • Он не соответствует ни одному из условий (то есть, он не удовлетворяет условиям).
   • Он соответствует одному из условий, но не соответствует двум остальным.

   В любом случае, у нас будет как минимум один ученик, который соответствует условиям A, B и C, так как это было предположено в базовом случае.

Итак, в классе найдётся хотя бы один ученик, который занимается английским языком, увлекается плаванием и посещает математический кружок.