Question

Скласти рівняння параболи, якщо F(−2;2), а x−1=0 - рівняння директриси.

Answer 1

Даны координаты фокуса параболы F(−2;2), и уравнение директрисы x−1=0 или х = 1.

Так как фокус левее директрисы , то график параболы имеет ветви влево. Вершина параболы находится посредине между директрисой и фокусом. Её координаты ((-2+1)/2; 2) = (-0,5; 2).

Параметр параболы равен расстоянию от фокуса до директрисы , то есть р = 3.

Ответ: уравнение имеет вид (y - 2)² = -2*3(x + 0,5).

Answer 2

Для того, щоб скласти рівняння параболи, знаючи фокус (F) та рівняння директриси, ми можемо використовувати наступний факт про параболу: відстань від будь-якої точки параболи (x, y) до фокусу (F) дорівнює відстані від точки до директриси.

Ваш фокус (F) вже заданий як (-2, 2), а рівняння директриси x - 1 = 0 представляє собою вертикальну лінію, яка перетинає вісь x в точці x = 1. Отже, директриса розташована на відстані 1 одиниці від вертикальної вісі симетрії параболи.

Зараз нам потрібно знайти рівняння параболи з фокусом у точці F(-2, 2) і директрисою x - 1 = 0.

1. Знайдемо координати вершини параболи, яка знаходиться посередині між фокусом і директрисою. В даному випадку вершина розташована на відстані 1/2 від фокуса до директриси:

   Вершина (h, k) = (-2, 2) + (1/2, 0) = (-3/2, 2)

2. Знаючи вершину параболи та фокус, ми можемо визначити фокусне відношення (e), яке визначає форму параболи. Фокусне відношення визначається так:

   e = відстань від фокуса до вершини / відстань від вершини до директриси e = |-2 - (-3/2)| / (3/2 - 1) = 1/2

3. Зараз ми можемо скласти рівняння параболи в канонічній формі з фокусним відношенням e та вершиною (h, k):

   (x - h)^2 = 4 * e * (y - k)

   (x - (-3/2))^2 = 4 * (1/2) * (y - 2)

4. Перепишемо рівняння:

   (x + 3/2)^2 = 2 * (y - 2)

Це є рівняння параболи з фокусом у точці F(-2, 2) та директрисою x - 1 = 0.