Question

Tg a = -0,75 tg b= 2,4; pi / 2 < a < pi, 0 < b < pi / 2. Найти sin(a + 2b) - ?

Answer 1

Ответ:

$\sin( \alpha + 2 \beta ) = \\ = \sin( \alpha ) \cos(2 \beta ) + \cos( \alpha ) \sin( 2\beta ) \\ \\ \cos(2 \beta ) = \cos {}^{2} ( \beta ) - \sin {}^{2} ( \beta ) \\ \sin( 2\beta ) = 2\sin( \beta ) \cos( \beta )$

Угол а принадлежит 2 четверти, синус положительный, косинус отрицательный.

Угол в принадлежит 1 четверти, синус и косинус положительные.

$tg \alpha = - 0.75$

$1 + {tg}^{2} \alpha = \frac{1}{ \cos {}^{2} ( \alpha ) } \\ \cos( \alpha ) = \pm \sqrt{ \frac{1}{1 + {tg}^{2} \alpha } } \\ \cos( \alpha ) = - \sqrt{ \frac{1}{1 + {(0.75)}^{2} } } = \\ = - \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{9}{16} } } = - \sqrt{ \frac{16}{25} } = - \frac{4}{5} \\ \sin( \alpha ) = \sqrt{1 - \cos {}^{2} ( \alpha ) } = \\ = \sqrt{1 - \frac{16}{25} } = \frac{3}{5}$

$tg \beta = 2.4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \\ \\ \cos( \beta ) = \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{144}{25} } } = \sqrt{ \frac{25}{169} } = \frac{5}{13} \\ \sin( \beta ) = \sqrt{1 - \frac{25}{169} } = \sqrt{ \frac{144}{169} } = \frac{12}{13}$

$\sin( 2\beta ) = 2 \times \frac{5}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{120}{169} \\ \cos(2 \beta ) = \frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{119}{169}$

$\sin( \alpha + 2 \beta ) = \frac{3}{5} \times \frac{119}{169} + ( - \frac{4}{5} ) \times \frac{120}{169} = \\ = \frac{357 - 480}{845} = - \frac{123} { 845}$

Answer 2

Для того чтобы найти значение $\sin(a + 2b)$, мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями. Используем следующие идентичности:

$$\sin(a + 2b) = \sin(a)\cos(2b) + \cos(a)\sin(2b)$$

где

$$\cos(2b) = \cos^2(b) - \sin^2(b) \quad \text{и} \quad \sin(2b) = 2\sin(b)\cos(b)$$

Известно, что $\tan(a) = -0.75$. Так как $\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$, мы можем определить $\sin(a)$ и $\cos(a)$ в соответствии с этим:

$$\sin(a) = -0.75\cos(a)$$

$$\cos(a) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(a)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (-0.75)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0.5625}} \approx 0.8$$

Также известно, что $\tan(b) = 2.4$. По аналогии с $a$, мы можем определить $\sin(b)$ и $\cos(b)$:

$$\sin(b) = \frac{2.4}{\sqrt{1 + 2.4^2}} \approx 0.89$$

$$\cos(b) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(b)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2.4^2}} \approx 0.44$$

Теперь можем найти $\sin(a + 2b)$:

$$\sin(a + 2b) = \sin(a)\cos(2b) + \cos(a)\sin(2b)$$

$$= \left(-0.75 \times 0.44\right) + \left(0.8 \times 2 \times 0.89 \times 0.44\right)$$

$$\approx -0.33 + 0.63 \approx 0.3$$

Итак, $\sin(a + 2b) \approx 0.3$.