Question

Знайти найменше і найбільше значення функції y=(2x-1)/(x-1)^2 на відрізку [-1/2;0]. Срочно!

Answer 1

$y'=(\frac{2x-1}{(x-1)^2} )'=\frac{(2x-1)'\cdot(x-1)^2-(2x-1)\cdot((x-1)^2)'}{((x-1)^2)^2}=\frac{2\cdot(x-1)^2-(2x-1)\cdot2\cdot(x-1)\cdot (x)'}{((x-1)^2)^2}=\\ \\ =\frac{2\cdot(x-1)^2-2\cdot(2x-1)\cdot(x-1)\cdot 1}{((x-1)^2)^2}=\frac{2\cdot ((x^2-2x+1)-(2x^2-2x-x+1))}{((x-1)^2)^2}=\frac{2\cdot (x^2-2x+1-2x^2+3x-1)}{((x-1)^2)^2}=\\ \\ =\frac{2\cdot (-x^2+x)}{((x-1)^2)^2}=\frac{-2x\cdot (x-1)}{((x-1)^2)^2}=\frac{-2x}{(x-1)^3}; \\ \\ y'=\frac{-2x}{(x-1)^3}=0; \\ \\ -2x=0; \ \ x_1=0;$

$(x-1)^3\neq 0; \ \ x\neq 1$

$y(0)=\frac{(2\cdot 0-1)}{(0-1)^2}=\frac{-1}{1}=-1$

$y(-\frac{1}{2})=\frac{2\cdot (-\frac{1}{2})-1}{(-\frac{1}{2}-1)^2}=\frac{-1-1}{(-\frac{3}{2})^2}=\frac{-2}{\frac{9}{4}}=-\frac{8}{9}$

Answer 2

Для знаходження найменшого і найбільшого значення функції y = (2x - 1) / (x - 1)^2 на відрізку [-1/2;0], спершу знайдемо похідну цієї функції та знайдемо її нулі на цьому відрізку. Значення функції в цих точках і буде найменшим і найбільшим значенням на відрізку.

1. Знайдемо похідну функції y = (2x - 1) / (x - 1)^2 за допомогою правила диференціювання квоцієнта:

   y' = [(2x - 1)'(x - 1)^2 - (2x - 1)(x - 1)^2'] / (x - 1)^4

   y' = [(2(x - 1) - 1)(x - 1)^2 - (2x - 1)(2(x - 1))] / (x - 1)^4

   y' = [(2x - 2 - 1)(x - 1)^2 - (4x - 2)(x - 1)] / (x - 1)^4

   y' = [(2x - 3)(x - 1)^2 - (4x^2 - 6x + 2x - 2)] / (x - 1)^4

   y' = [(2x - 3)(x^2 - 2x + 1 - 4x^2 + 2x - 2)] / (x - 1)^4

   y' = [(2x - 3)(-3x^2 - 1)] / (x - 1)^4

2. Тепер знайдемо нулі похідної, тобто розв'язки рівняння y' = 0:

   (2x - 3)(-3x^2 - 1) = 0

   Знаходимо корені:

   2x - 3 = 0 або -3x^2 - 1 = 0

   2x = 3 або -3x^2 = 1

   x = 3/2 або x^2 = -1/3

   Перше рівняння має розв'язок x = 3/2, але це не належить відрізку [-1/2;0].

   Друге рівняння x^2 = -1/3 не має розв'язків в дійсних числах.

3. Таким чином, функція y = (2x - 1) / (x - 1)^2 не має мінімуму або максимуму на відрізку [-1/2;0].

Отже, найменше і найбільше значення цієї функції на даному відрізку відсутні.