Question

Решите уравнение (7-х)^2=(х+16)^2​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x=-4,5.$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle (7-x)^{2}=(x+16)^{2 }$

1 способ.

Перенесем выражение, стоящее в левой части, в правую:

$\displaystyle (x+16)^{2}-(7-x)^{2}=0.$

Воспользуемся формулой разности квадратов двух выражений:

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

$\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b).$

Получим следующее выражение:

$\displaystyle (x+16-7+x)(x+16+7-x)=0.$

Приведем подобные слагаемые в скобках.

$\displaystyle (2x+9) \cdot 23=0.$

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

$\displaystyle 2x+9=0;\\\\2x=-9;\\\\x=-\frac{9}{2} ;\\\\x=-4,5.$

Ответ: $\displaystyle x=-4,5.$

2 способ.

Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения.

$\displaystyle \sqrt{(7-x)^{2}} = \sqrt{(x+16)^{2}} ;\\\\|7-x|=|x+16|$

Раскроем модули по определению модуля числа

$\displaystyle |a|= \begin{cases} &a,\;a\geq0; \\ &-a,\; a \leq 0.\end{cases}$

Тогда:

$\displaystyle 7-x=x+16;\\\\-x-x=16-7;\\\\-2x=9;\\\\x=-\frac{9}{2} \\\\x=-4,5.$

Или

$\displaystyle 7-x=-(x+16);\\\\7-x =-x-16;\\\\7-x+x+16=0;$

$\displaystyle 23=0$ не верно, уравнение не имеет решений.

Ответ: $\displaystyle x=-4,5.$

3 способ.

Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения.

$\displaystyle \sqrt{(7-x)^{2}} = \sqrt{(x+16)^{2}} ;\\\\|7-x|=|x+16|$

Согласно геометрическому смыслу модуля, модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками с данными координатами на числовом луче.

Запишем подмодульные выражения в виде разности, учитывая при этом, что по свойству модуля

$\displaystyle |a-b|=|b-a|$

Тогда

$\displaystyle |x-7|=|x-(-16)|$

Мы видим, что расстояние между точками с координатами  x  и 7 равно расстоянию между точками с координатами x и (-16).

Тогда точка x является координатой середины отрезка, заключенного между точками (-16) и 7.

По формуле координаты середины отрезка найдем значение x.

$\displaystyle x=\frac{x_{1}+x_{2} }{2} =\frac{-16+7}{2} =-\frac{9}{2} =-4,5.$

Ответ: $\displaystyle x =-4,5.$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

(7 - x)^2 = (x + 16)^2

Сначала раскроем квадраты на обеих сторонах:

(7 - x)(7 - x) = (x + 16)(x + 16)

Теперь упростим обе стороны:

49 - 14x + x^2 = x^2 + 32x + 256

Теперь переносим все элементы на одну сторону уравнения:

x^2 - x^2 + 32x - 14x + 256 - 49 = 0

Упростим:

18x + 207 = 0

Теперь выразим x:

18x = -207

x = -207 / 18

x = -11.5

Ответ: x = -11.5