Question

Найдите область определения функции y=√((x^2-5x+4)/(x+2))

Answer 1

Ответ:

x ∈ (-2 ; 1] ∪ [4; +∞]

Пошаговое объяснение:

y=√((x^2-5x+4)/(x+2))

Чтобы функция определена, должны выполниться 2 условия

1) х + 2 ≠ 0 ( в знаменателе)

х ≠ -2

2) (x^2-5x+4)/(x+2) ≥ 0 ( подкоренное выражение)

(x^2-5x+4)/(x+2) = (х - 1)(х - 4)/(x + 2)

при х < -2     (х - 1)(х - 4)/(x + 2) ≤ 0

при -2 < х ≤ 1     (х - 1)(х - 4)/(x + 2) ≥ 0

при  1 < х ≤ 4     (х - 1)(х - 4)/(x + 2) ≤ 0

при 4 < х       (х - 1)(х - 4)/(x + 2) ≥ 0

Значит, x ∈ (-2 ; 1] ∪ [4; +∞]

Answer 2

Чтобы найти область определения функции y = √((x^2 - 5x + 4)/(x + 2)), мы должны учесть два важных аспекта:

1. Знаменатель внутри корня не может быть равен нулю, так как деление на ноль неопределено. Поэтому x + 2 ≠ 0.

2. Внутренний аргумент под корнем должен быть неотрицательным числом, иначе корень из отрицательного числа не определен в действительных числах. То есть, x^2 - 5x + 4 ≥ 0.

Теперь давайте решим эти два условия:

1. x + 2 ≠ 0 Это условие означает, что x не должно быть равно -2. Таким образом, x ≠ -2.

2. x^2 - 5x + 4 ≥ 0 Это неравенство можно решить, факторизуя его: (x - 4)(x - 1) ≥ 0

   Теперь мы видим, что это неравенство выполняется в интервалах, где либо оба множителя положительны, либо оба множителя отрицательны.

   • Если оба множителя положительны: x - 4 ≥ 0 (x - 1) ≥ 0 x ≥ 4 и x ≥ 1 Это выполняется, когда x ≥ 4.

   • Если оба множителя отрицательны: x - 4 ≤ 0 (x - 1) ≤ 0 x ≤ 4 и x ≤ 1 Это выполняется, когда x ≤ 1.

Итак, у нас есть два интервала, где неравенство выполняется: x ≤ 1 и x ≥ 4.

Область определения функции y = √((x^2 - 5x + 4)/(x + 2)) - это интервал x, исключая x = -2, исключая интервал (-2, 1), исключая интервал (4, +∞).

Итак, область определения функции - это x ∈ (-∞, -2) ∪ (-2, 1] ∪ [4, +∞).