Question

Реши неравенство (f′(x))²>1, если: f(x)=arcsin3x. Ответ дай в виде интервала

Answer 1

Ответ:

$x\in(-1;1)$

Пошаговое объяснение:

$(f'(x))^2 > 1\\f(x)=arcsin3x\\f'(x)=\frac{3}{\sqrt{1-x^2} } \\(f'(x))^2=(\frac{3}{\sqrt{1-x^2} })^2=\frac{9}{1-x^2} \\\\\frac{9}{1-x^2} >1\\\\\frac{9-(1-x^2)}{1-x^2} >0\\(8+x^2)(1-x^2)>0\\(x-1)(x+1)$

Answer 2

Для решения неравенства (f′(x))² > 1, где f(x) = arcsin(3x), мы должны начать с нахождения производной f′(x) и затем рассмотреть, когда это выражение больше 1.

1. Найдем производную f′(x) функции f(x) = arcsin(3x):

f(x) = arcsin(3x) f′(x) = (arcsin(3x))′

Для нахождения производной arcsin(3x) воспользуемся цепным правилом (chain rule):

f′(x) = (arcsin(3x))′ = (1/√(1 - (3x)²)) * (3) = 3/√(1 - 9x²)

2. Теперь наша задача - найти интервалы, где (f′(x))² > 1:

(f′(x))² > 1 (3/√(1 - 9x²))² > 1 9/(1 - 9x²) > 1

Теперь давайте решим это неравенство:

9/(1 - 9x²) > 1

Умножим обе стороны на (1 - 9x²), при этом учтем, что 1 - 9x² должно быть положительным, чтобы неравенство было валидным:

9 > 1 - 9x²

Теперь выразим x²:

9x² < 8

x² < 8/9

Чтобы найти интервалы для x, возьмем корень из обеих сторон (учтем, что x² будет неотрицательным числом):

|x| < √(8/9)

Теперь учтем, что |x| < √(8/9) означает два интервала:

1. -√(8/9) < x < √(8/9)
2. Или в абсолютной форме: -√(8/9) < x < √(8/9)

Итак, интервалы, в которых (f′(x))² > 1 для функции f(x) = arcsin(3x), это:

-√(8/9) < x < √(8/9)