Question

Обчислити площу фігури, обмежену лініями:, y=x+4.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рисуем графики, определяем фигуру и пределы интегрирования

и получаем

$\displaystyle S=\int\limits^1_{-4} {(x+4-(x^2+4x)} \, dx =\int\limits^1_{-4} {(-x^2-3x+4)} \, dx =$

$\displaystyle =-\frac{x^3}{3} \bigg |_{-4}^1-3\frac{x^2}{2} \bigg |_{-4}^1+4x \bigg |_{-4}^1= -\frac{65}{3} +\frac{45}{2} +20=\frac{125}{6}$

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої лінією y = x + 4, вам потрібно визначити, які межі x ви розглядаєте, інакше площу неможливо обчислити точно.

Ваша лінія y = x + 4 є прямою з нахилом 45 градусів до вісі x, і вона перетинає вісь y в точці (0, 4). Якщо вас цікавить площа фігури між цією лінією та віссю x на певному інтервалі, вам потрібно визначити межі цього інтервалу.

Давайте розглянемо приклад, коли межі інтервалу для x від -2 до 2. Тоді фігура обмежується лінією x = -2 (ліва межа) і x = 2 (права межа).

Тепер вам потрібно обчислити площу цієї фігури, яка обмежена лінією y = x + 4 та віссю x. Ця площа обчислюється як інтеграл від y = x + 4 до x = -2 до x = 2.

Спершу обчислімо інтеграл функції y = x + 4 від x = -2 до x = 2:

∫[from -2 to 2] (x + 4) dx = [(1/2)x^2 + 4x] from -2 to 2 = [(1/2)(2^2) + 4(2)] - [(1/2)(-2^2) + 4(-2)] = [(1/2)(4) + 8] - [(1/2)(4) - 8] = (2 + 8) - (2 - 8) = 10 - (-6) = 16

Отже, площа фігури, обмеженої лінією y = x + 4 та віссю x від x = -2 до x = 2, дорівнює 16 квадратним одиницям.