Question

Обчислити площу фігури обмежену лініями y=-xвквадраті+x+6, y=0

Answer 1

$y_{1} = -x^{2} +x+6$
$y_{2} = 0$
Найдем точки пересечения:
$y_{1} = y_{2}$
$-x^{2} +x+6 = 0$
$D =1+24 = 25$
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$
$x_{1} = -2, x_{2} = 3$
Площадь фигуры в нашем случае находится с помощью двойного интеграла. Не буду рассказывать, как находить порядок обхода : про это и так много написано. Фото в помощь.
По традиции, используя Ньютона-Лейбница:
$\int\limits^{3}_{-2} dx\int\limits^{-x^2+x+6}_{0}dy$
$\int\limits^{3}_{-2} (-x^2+x+6)dx = (-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x) |^{3}_{-2} = \frac{125}{6}$
Ответ: $\frac{125}{6}$

Answer 2

Для обчислення площі фігури обмеженої двома лініями, спочатку ми повинні знайти точки перетину цих ліній.

1. Почнемо з першої лінії: y = -x² + x + 6

   Для знаходження точок перетину з осію Ox (y = 0), підставимо y = 0 у рівняння: 0 = -x² + x + 6

   Перепишемо рівняння у квадратну форму: x² - x - 6 = 0

   Тепер знайдемо корені цього квадратного рівняння. Застосуємо формулу дискримінанту: D = b² - 4ac a = 1, b = -1, c = -6

   D = (-1)² - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25

   Так як дискримінант (D) більше нуля, ми матимемо два різних корені: x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-(-1) + √25) / (2*1) = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3

   x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-(-1) - √25) / (2*1) = (1 - 5) / 2 = -4 / 2 = -2

   Отже, ми маємо дві точки перетину першої лінії з осію Ox: (-2, 0) і (3, 0).

2. Друга лінія: y = 0

   Ця лінія є прямою, паралельною осі Oy, і перетинає осі Ox в усіх точках. Тобто, вона перетинає осі Ox у всіх точках з x-координатами від -∞ до +∞.

Тепер, коли ми знайшли точки перетину ліній, ми можемо обчислити площу фігури, обмеженої цими лініями. Оскільки друга лінія (y = 0) є осью Ox, а площа фігури обмежена першою лінією (y = -x² + x + 6) і осью Ox, ми обчислимо інтеграл від -2 до 3 функції -x² + x + 6.

Площа фі