Question

в прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ ac является биссектрисой угла а равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 5 корень из 2

Answer 1

Ответ:

$BD = 5\sqrt{3}$

Пошаговое объяснение:

См. на приложенных фото

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами биссектрисы треугольника. Поскольку диагональ AC является биссектрисой угла А, она делит угол А на два равных угла, каждый из которых равен 22.5°.

Так как угол А равен 45°, угол АCD (где D - середина BC) равен 45° - 22.5° = 22.5°. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ACD с углом 22.5° и известным катетом AD = 5√2 (по условию). Мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями для нахождения длины диагонали AC.

Тангенс угла 22.5° в этом треугольнике определяется как:

$\tan(22.5°) = \frac{AD}{CD}$

Так как $\tan(22.5°) = 2 - \sqrt{3}$, мы можем найти CD:

$CD = \frac{AD}{\tan(22.5°)} = \frac{5\sqrt{2}}{2 - \sqrt{3}}$

Для удобства, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

$CD = \frac{5\sqrt{2}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{10\sqrt{2} + 5\sqrt{6}}{1} = 10\sqrt{2} + 5\sqrt{6}$

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали BD:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{((10\sqrt{2} + 5\sqrt{6})^2 + (5\sqrt{2})^2)}$

После упрощения этого выражения вы найдете длину диагонали BD.