Question

Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что на протяжении часа станок не требует надзора рабочего, равна для первого станка 0,8, для второго - 0,85, для третьего - 0,7, для четвертого - 0,75. Найти математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не требуют надзора рабочего в течение часа.

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Для начала необходимо составить таблицу числа

станков(х), которые не требуют надзора рабочего в течение часа и вероятности етих собитий

х может принимать значения :0, 1, 2, 3 и 4

Р(х=4)=0.8×0.85×0.7×0.75=0.357

Р(х=3)=0.8×0.85×0.7×0.25+0.2×0.85×0.7×0.75+ 0.8×0.15×0.7×0.75+0.8×0.85×0.3×0.75=0.32225

Р(х=2)=0.28475

Р(х=1)=0.03375

Р(х=0)=0.2×0.15×0.3×0.25=0.00225

Тогда математическое ожидание Мх=сумме к×Р(х=к), где к=0,1,2,3,4

Мх=2,998

дисперсия

D=M(x^2)-(Mx)^2=9,785-8.988004=0.796996

Answer 2

Для данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждый станок может быть в рабочем или нерабочем состоянии (2 возможных исхода) и вероятность нерабочего состояния известна.

Математическое ожидание биномиального распределения можно вычислить по формуле:

$E(X) = n \times p$

где $n$ - количество станков (в данном случае 4), $p$ - вероятность нерабочего состояния станка.

Для первого станка: $E(X_1) = 1 \times 0.8 = 0.8$

Для второго станка: $E(X_2) = 1 \times 0.85 = 0.85$

Для третьего станка: $E(X_3) = 1 \times 0.7 = 0.7$

Для четвертого станка: $E(X_4) = 1 \times 0.75 = 0.75$

Теперь сложим ожидания для всех станков: $E(X) = E(X_1) + E(X_2) + E(X_3) + E(X_4) = 0.8 + 0.85 + 0.7 + 0.75 = 3.1$

Теперь найдем дисперсию. Дисперсия биномиального распределения вычисляется по формуле:

$\text{Var}(X) = n \times p \times (1 - p)$

Для каждого станка дисперсия будет равна: $\text{Var}(X_i) = 1 \times p_i \times (1 - p_i)$

Теперь сложим дисперсии для всех станков: $\text{Var}(X) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) + \text{Var}(X_3) + \text{Var}(X_4)$ $= 0.8 \times 0.2 + 0.85 \times 0.15 + 0.7 \times 0.3 + 0.75 \times 0.25$ $= 0.16 + 0.1275 + 0.21 + 0.1875$ $= 0.685$

Итак, математическое ожидание числа станков, не требующих надзора рабочего в течение часа, равно 3.1, а дисперсия этой случайной величины равна 0.685.