Question

Найти довжина дуги (y-2) ^ 2 = x ^ 3 x в межах (1; 3)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

(y-2)²=x³   это полукубическая парабола

$\displaystyle y = \sqrt{x^3}+2$

$\displaystyle L=\int\limits^a_b {\sqrt{1+(f'(x))^2} } \, dx$

$\displaystyle y'=\frac{3\sqrt{x} }{2}$

$\displaystyle L=\int\limits^3_1 {\sqrt{1+\frac{9x}{4} } } \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=\displaystyle\frac{9x}{4}\quad du=\frac{9}{4} dx \\u_1=13/4\hfill\\u_2=31/4\hfill\end{array}\right] =\frac{4}{9} \int\limits^{31/4}_{13/4} {\sqrt{u} } \, du=$

$\displaystyle =\frac{8\sqrt{u^3} }{27} \bigg |_{13/4}^{31/4}=\frac{8}{27} \bigg (\sqrt{\bigg (\frac{31}{4} \bigg )^3 -\bigg (\frac{13}{4} \bigg )^3} \quad\bigg )=\frac{1}{27} (31\sqrt{31} -13\sqrt{13} )\approx 4.6$

Answer 2

Для нахождения длины дуги кривой, заданной уравнением $(y-2)^2 = x^3$, в интервале $(1, 3)$, мы можем воспользоваться формулой для вычисления длины дуги кривой:

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$

где $a$ и $b$ - это границы интервала, $dy/dx$ - производная функции $y$ относительно $x$.

Сначала мы найдем производную $y$ относительно $x$. Для этого продифференцируем уравнение $(y-2)^2 = x^3$ по $x$:

$2(y-2) \frac{dy}{dx} = 3x^2$

Теперь выразим $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2(y-2)}$

Теперь мы можем вычислить $dy/dx$ в точках $x = 1$ и $x = 3$:

1. Для $x = 1$:

$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = \frac{3(1)^2}{2(y-2)} = \frac{3}{2(y-2)}$

2. Для $x = 3$:

$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=3} = \frac{3(3)^2}{2(y-2)} = \frac{27}{2(y-2)}$

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для длины дуги:

$L = \int_{1}^{3} \sqrt{1 + \left(\frac{3x^2}{2(y-2)}\right)^2} \, dx$

Здесь $y$ будет функцией $x$, и для нахождения длины дуги вам потребуется вычислить этот интеграл.